Đại số lớp 9

Hồng Minh

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

\(1!+2!+...+x!=y^3\)

\(3\left(x^2+xy+y^2\right)=x+8y\)

Akai Haruma
Thiếu tướng -
10 tháng 2 2017 lúc 0:58

Câu 1)

Thử \(x=1,2,3,4,5\) ta thấy chỉ \(x=1\) thỏa mãn \(y=1\)

Với \(x\geq 6\)

Để ý rằng \(1!+2!+3!+...+x!=3+3!+4!+...+x!\) luôn chia hết cho $3$. Do đó \(y^3\vdots 3\rightarrow y\vdots 3\rightarrow y^3\vdots 27\)

Với \(x\geq 6\) thì \(x!\) luôn chia hết cho $27$. Do đó để \(y^3\vdots 27\) thì \(1!+2!+...+5!\) cũng phải chia hết cho $27$ hay $153$ chia hết cho $27$. Điều này vô lý.

Do đó phương trình chỉ có bộ nghiệm \((x,y)=(1,1)\) thỏa mãn.

Bình luận (0)
Akai Haruma
Thiếu tướng -
10 tháng 2 2017 lúc 1:48

Bài 2)

Ta thấy \(3(x^2+y^2+xy)=x+8y\geq 0\) nên chắc chắn tồn tại ít nhất một số nguyên không âm.

TH1: \(x\geq 0\)

\(\text{PT}\Leftrightarrow 3y^2+y(3x-8)+3x^2-x=0\)

Để PT có nghiệm thì \(\Delta=(3x-8)^2-12(3x^2-x)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow -27x^2-36x+64\geq 0\)

Giải HPT trên ta suy ra \(x\leq 1\). Do đó \(x=0\) hoặc $1$

Nếu \(x=0\Rightarrow y=0\)

Nếu \(x=1\rightarrow y=1\)

TH2: \(x<0\) thì \(y> 0\)

\(\text{PT}\Leftrightarrow 3x^2+x(3y-1)+3y^2-8y=0\)

Để PT có nghiệm thì \(\Delta =(3y-1)^2-12(3y^2-8y)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow -27y^2+90y+1\geq 0\rightarrow y\leq 3\rightarrow y=1,2,3\)

Nếu \(y=1\rightarrow x=1\)

Nếu \(y=2,3\) không có $x$ thỏa mãn.

Vậy \((x,y)=(0,0),(1,1)\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN