Violympic toán 9

Nguyễn Mai

Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a+b+ab=3. Chứng minh:

\(\frac{a}{b+3}+\frac{b}{a+3}+\frac{ab}{a+b}\le1\)

Akai Haruma
30 tháng 6 2020 lúc 21:59

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:
$3=a+b+ab\leq a+b+\frac{(a+b)^2}{4}$

$\Leftrightarrow (a+b-2)(a+b+6)\geq 0$

$\Rightarrow a+b\geq 2$

BĐT cần chứng minh tương đương với:

\(\frac{3a}{b+3}+\frac{3b}{a+3}+\frac{3ab}{a+b}\leq 3\)

\(\Leftrightarrow a-\frac{ab}{b+3}+b-\frac{ab}{a+3}+\frac{3ab}{a+b}\leq a+b+ab\)

\(\Leftrightarrow ab+\frac{ab}{a+3}+\frac{ab}{b+3}\geq \frac{3ab}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow 1+\frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}\geq \frac{3}{a+b}(*)\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(1+\frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}\geq \frac{36}{22+a+b}\)

\(\geq \frac{36}{11(a+b)+(a+b)}=\frac{3}{a+b}\)

BĐT $(*)$ đc chứng minh. Bài toán hoàn tất

Dấu "=" xảy r akhi $a=b=1$

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN