Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Bùi Đại Hiệp

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1.Chứng minh rằng:

\(\frac{ab}{a^4+b^4+ab}+\frac{bc}{b^4+c^4+bc}+\frac{ca}{c^4+a^4+ca}\le1\)

Nguyễn Việt Lâm
11 tháng 6 2020 lúc 15:55

\(a^4+b^4\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)^2=\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge ab\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{ab}{ab\left(a^2+b^2\right)+ab}+\frac{bc}{bc\left(b^2+c^2\right)+bc}+\frac{ca}{ca\left(c^2+a^2\right)+ca}\)

\(VT\le\frac{1}{a^2+b^2+1}+\frac{1}{b^2+c^2+1}+\frac{1}{c^2+a^2+1}\)

Đặt \(\left(a^2;b^2;c^2\right)=\left(x^3;y^3;z^3\right)\Rightarrow xyz=1\)

\(VT\le\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}\)

\(VT\le\frac{xyz}{xy\left(x+y\right)+xyz}+\frac{xyz}{yz\left(y+z\right)+xyz}+\frac{xyz}{xz\left(z+x\right)+xyz}\)

\(VT\le\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)


Các câu hỏi tương tự
Icarus Chune
Xem chi tiết
Nishimiya shouko
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Yến Nga
Xem chi tiết
fghj
Xem chi tiết
Nguyễn Tiến Tành
Xem chi tiết
vvvvvvvv
Xem chi tiết
Thiều Khánh Vi
Xem chi tiết
Nguyen Thi Bich Huong
Xem chi tiết
Nguyễn Bùi Đại Hiệp
Xem chi tiết