Question

Cho các số thực dương a, b, c > 0 thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\)

Chứng minh rằng \(\frac{1}{4-\sqrt{ab}}+\frac{1}{4-\sqrt{bc}}+\frac{1}{4-\sqrt{ca}}\le1\)

Answer 1

Áp dụng BĐT: \(\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

Ta có: \(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)=9\)

\(\Rightarrow0\le a+b+c\le3\) ( vì a,b,c > 0 ) (Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.)

\(\Rightarrow0\le a+b\le3-c\) (1)

Đặt \(A=\frac{1}{4-\sqrt{ab}}+\frac{1}{4-\sqrt{bc}}+\frac{1}{4-\sqrt{ca}}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}A=\frac{1}{8-2\sqrt{ab}}+\frac{1}{8-2\sqrt{bc}}+\frac{1}{8-2\sqrt{ca}}\)

Áp dụng Côsi cho hai số dương a, b ta được:

\(2\sqrt{ab}\le a+b\Rightarrow8-2\sqrt{ab}\ge8-\left(a+b\right)\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Answer 2

giải nhầm sorry