Ôn tập toán 8 - Hỏi đáp

Đặt b+c-a=x, c+a-b=y, a+b-c=z thì 2a =y+z, 2b +x+z, 2c +x+y. Ta có:

\(\dfrac{2a}{b+c-a}+\dfrac{2b}{a+c-b}+\dfrac{2c}{a+b-c}\)

= \(\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}+\dfrac{x+y}{z}\)

=\(\left(\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}\right)+\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\right)+\left(\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}\right)\)(1)

Mà \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2=\dfrac{x^2+y^2-2xy}{xy}=\dfrac{\left(x-y\right)^2}{xy}\ge0\)( vì xy >0)

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\)(2)

Tương tự: \(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\ge2\)(3)

\(\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}\ge2\)(4)

Từ (1),(2),(3) và (4):

\(\Rightarrow\)\(\left(\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}\right)+\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\right)+\left(\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}\right)\)\(\ge6\)

Hay \(\dfrac{2a}{b+c-a}+\dfrac{2b}{a+c-b}+\dfrac{2c}{a+b-c}\) \(\ge6\)

Do đó: \(\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{a+c-b}+\dfrac{c}{a+b-c}\ge3\)(đpcm)

C1 : Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có :

\(\sum\dfrac{a}{b+c-a}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{abc}{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}}\ge3\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

C2 : Theo Cauchy Schwarz :

\(\sum \frac{a}{b+c-a}\geq \sum \frac{a^2}{ab+ac-a^2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+ca+bc)-a^2-b^2-c^2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\frac{2}{3}(a+b+c)^2-\frac{1}{3}(a+b+c)^2}=3\)

(đpcm).

Gọi Vv là vận tốc của ca nô ; Vn là vận tốc của nước = 2km/h

-Vxuôi = Vv + Vn ; Vngược = Vv - Vn

-Sxuôi = Txuôi (Vv + Vn) =2,5 (Vv + 2)

-Sngược= Tngược (Vv - Vn) =3 (Vv -2)

-mà Sxuôi = Sngược

=> 2,5 (Vv + 2)= 3 (Vv - 2)

<=>2,5 Vv + 5 = 3Vv -6

<=>2,5Vv - 3Vv= -5 -6

<=> -0,5Vv = -11

<=> Vv = 22

Vậy vân tốc thực của ca nô là 22 km/h

Gọi x là vận tốc thực của ca nô (km/h) , ĐK :x >0

Vận tốc khi ca nô xuôi dòng : x+2,5 (km/h)

Vận tốc khi ca nô ngược dòng : x-3 (km/h)

Ta có pt : ( x + 2,5 ) + (x - 3 ) =2

             <=> 2x - 0,5 =2

             <=> 2x =2,5

             <=> x  = 1,25

Vậy vận tốc thực của ca nô là 1,25 km/h

Ta có : \(a^2-2a+6b+b^2=-10\)

\(\Leftrightarrow a^2-2a+6b+b^2+10=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2+6b+9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b+3\right)^2=0\left(1\right)\)

Vì : \(\left(a-1\right)^2\ge0;\left(b+3\right)^2\ge0\) với mọi \(a,b\)

Nên để thõa mãn đẳng thức \(\left(1\right)\) thì phải xảy ra đồng thời : \(\left(a-1\right)^2=0\) và \(\left(b+3\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a-1=0\) và \(b+3=0\) \(\Leftrightarrow a=1\) và \(b=-3\)

1a) a² - 2a + 6b +b²=-10 
<=> (a-1)² +(b+3)² =0 
TA CÓ VẾ TRÁI LUÔN \(\ge\)0 VÌ TỔNG CÁC BÌNH PHƯƠNG LUÔN \(\ge\)0 
DẤU = XÀY RA KHI a = 1 b = -3 
b)X+Y/Z + Y+Z/X + Z+X/Y 
<=>X+Y/Z +1 + Y+Z/X +1+ Z+X/Y+1 -3 
<=>(X+Y+Z)(1/X+1/Y+1/Z)-3
TA CÓ 1/X +1/Y +1/Z=0 
=> BT =-3 
2A) QUY ĐỒNG CHUYỂN VẾ TA ĐƯỢC (A-B)^2>0 
B) ÁP DỤNG BĐT CÔ SI x+y>= 2.CĂNxy 
A+B>=2.\(\sqrt{ }\) AB 
1/A +1/B>= 2.\(\sqrt{ }\) 1/AB 

5²⁰⁰⁵+5²⁰⁰³
=5²⁰⁰³.(5²+1) 
=5²⁰⁰³.26 
=5²⁰⁰³.13.2 

Vì 13 chia hết cho 13 nên 5²⁰⁰³ . 13 . 2 chia hết 13

Vậy: 5²⁰⁰⁵+5²⁰⁰³

thể tích hình hộp chữ nhật là : V=\(3\sqrt{2}.4\sqrt{2}.5=120\) cm³

\(\left(3x-1\right)\left(4x-1\right)\left(5x-1\right)\left(6x-1\right)=\left[\left(3x-1\right)\left(6x-1\right)\right]\left[\left(4x-1\right)\left(5x-1\right)\right]\)

\(=\left[18x^2-9x+1\right]\left[20x^2-9x+1\right]\)=120.

Do x thuộc Z => 2 cái trong ngoặc thuộc Ư(120) 

Đồng thời chúng đồng âm và đồng dương, Tất nhiên là cùng chẵn

1/a+1/b>=4/a+b 
<=> (a+b)/ab>=4/(a+b) 
<=> (a+b)^2 >=4ab 
<=> a^2 +2ab +b^2 - 4ab>=0 
<=> (a-b)^2>=0 => đpcm 

II>> 

a^3+b^3>=ab(a+b) 
<=> (a+b)(a^2 -ab+b^2)>=ab(a+b) 
<=> a^2 -ab+b^2>=ab 
<=> (a-b)^2 >=0 => đpcm

Vì a>0 và b>0 nên ta áp dụng bất đẳng thức cosi ta có:

\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)\(\ge\)2\(\sqrt{\frac{1}{ab}}\) (1)

a+b\(\ge\)2\(\sqrt{ab}\) (2)

nhân vế với vế của (1) và (2) ta có:

(\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\))(a+b)\(\ge\)2\(\sqrt{\frac{1}{ab}}\).2\(\sqrt{ab}\)

=>(\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\))(a+b)\(\ge\)4

dấu = xảy ra khi a=b

Ta có: a³ + b³ = a³+3a²b + 3ab² +b³ - 3a²b -3ab² = (a+b)³ -3ab(a+b)

Và a+b = -c, ta được:

a³ +b³ + c³ = (a+b)³ -3ab(a+b) +c³ = (-c)³ - 3ab.(-c) +c³ = - 3ab(-c) 3abc. (ĐPCM)

Ta có \(\left(x-2\right)\left(c+2\right)\left(x^2-10\right)=72\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-4\right)\left(x^2-10\right)=72\)

Đặ ấn số phụ là \(y=x^2-4\) thì phương trình đã cho thành

\(y\left(y-6\right)=72\)

\(\Leftrightarrow y^2-6y-72=0\)

\(\Leftrightarrow y^2-12y+6y-72=0\)

\(\Leftrightarrow y\left(y-12\right)+6\left(y-12\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y-12\right)\left(y+6\right)=0\)

Do đó y=12 hoặc y=-6

Với y=12 ta được \(x^2-4=12\Rightarrow x=\pm4\)

Với y=-6 ta có \(x^2-4=-6\) (phương trình này vô ngiệm)

Vậy ngiệm của phương trình đã cho là \(x_1=4;x_2=-4\)

(x² + x)² + 4x² + 4x - 12 (sửa đề)

= (x² + x)² + 4(x² + x) - 12

Đặt x² + x = y, ta có:

y² + 4y - 12

= y² + 2y - 6y - 12

= y(y + 2) - 6(y + 2)

= (y - 6)(y + 2)

= (x² + x - 6)(x² + x + 2)

= (x² - 2x + 3x - 6)(x² + x + 2)

= (x + 3)(x - 2)(x² + x + 2)

ko ai giải đc ak