Ôn tập Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác, các đường đồng quy của tam giác

câu 1.

đặt A=\(\dfrac{15}{11.14}+\dfrac{15}{14.17}+...+\dfrac{15}{65.68}+\dfrac{15}{68.71}\)

xét \(\dfrac{A}{3}\)=\(\dfrac{15}{3.11.14}+\dfrac{15}{3.14.17}+...+\dfrac{15}{3.65.68}+\dfrac{15}{3.68.71}\)

ta có:+ \(\dfrac{15}{3.11.14}=\dfrac{15}{3}\left(\dfrac{1}{11}-\dfrac{1}{14}\right)=\dfrac{15}{3.11}-\dfrac{15}{3.14}\)

tương tự ta có:

+\(\dfrac{15}{3.11.14}=\dfrac{15}{3.11}-\dfrac{15}{3.14}\)

+\(\dfrac{15}{3.14.17}=\dfrac{15}{3.14}-\dfrac{15}{3.17}\)

....

+\(\dfrac{15}{3.65.68}=\dfrac{15}{3.65}-\dfrac{15}{3.68}\)

+\(\dfrac{15}{3.68.71}=\dfrac{15}{3.68}-\dfrac{15}{3.71}\)

cộng vế theo vế ta đc:

\(\dfrac{15}{3.11.14}+\dfrac{15}{3.14.17}+...+\dfrac{15}{3.65.68}+\dfrac{15}{3.68.71}\)

=\(\dfrac{15}{3.11}-\dfrac{15}{3.14}+\dfrac{15}{3.14}-\dfrac{15}{3.17}+...+\dfrac{15}{3.65}-\dfrac{15}{3.68}+\dfrac{15}{3.68}-\dfrac{15}{3.71}=\dfrac{15}{3.11}-\dfrac{15}{3.71}\)

=> \(\dfrac{A}{3}\)=\(\dfrac{15}{3.11}-\dfrac{15}{3.71}\)

=> A= \(\dfrac{15}{11}-\dfrac{15}{17}=\dfrac{90}{187}\)

câu 1b.

trước khi làm bài này có chú ý này:\(0^n=0\)với n\(\ne0\) và \(a^0=1\)với a\(\ne0\)

đặt: \(t=\left(x-5\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-5\right)^{x+1}=\left(x-5\right)^{x-5+6}=t^{t+6}\\\left(x-5\right)^{x+2015}=\left(x-5\right)^{x-5+2020}=t^{t+2020}\end{matrix}\right.\)

=> \(\left(x-5\right)^{x+1}-\left(x-5\right)^{x+2015}=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(t^{t+6}-t^{t+2020}=0\Leftrightarrow t^{t+6}\left(1-t^{2014}\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t^{t+6}=0^{t+6}\\1-t^{2014}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=0\\t^{2014}=1=1^{2014}\Rightarrow t=1\end{matrix}\right.\)với t=0 => x-5=0=> x=5

với t=1=> x-5=1=>x=6

\(2a.\\ A\left(x\right)=x^5-3x^2+2x^4-x^2+19x-\dfrac{2}{3}\\ =x^5+2x^4-3x^3-x^2+19x-\dfrac{2}{3}\)\(B\left(x\right)=2x^4+x^5-3x^3-2x^2+17x-7\\ =x^5+2x^4-3x^3-2x^2+17x-7\)

\(H\left(x\right)=A\left(x\right)-B\left(x\right)\\ =\left(x^5+2x^4-3x^3-x^2+19x-\dfrac{2}{3}\right)-\left(x^5+2x^4-3x^3-2x^2+17x-7\right)\\ =x^5+2x^4-3x^3-x^2+19x-\dfrac{2}{3}-x^5-2x^4+3x^3+2x^2-17x+7\\ =x^2+2x+\dfrac{19}{3}\)

c) Kẻ DI\(\perp\) BH Tứ giác HPDI có \(\widehat{H}=90^0;\widehat{P}=90^0;\widehat{I}=90^0\)\(\Rightarrow\widehat{D}=90^0\)

\(\Rightarrow\)HPDI là hình chữ nhật

Ta có: \(\widehat{IDB}+\widehat{D}+\widehat{PCD}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{IDB}+\widehat{PDC}=180^0-\widehat{D}=180^0-90^0=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{IDB}=90^0-\widehat{PDC}\) (1)

Xét \(\Delta\) vuông PDC có: \(\widehat{C}+\widehat{PDC}=90^0\Rightarrow\widehat{C}=90^0-\widehat{PDC}\) (2)

Từ(1) và (2)\(\Rightarrow\)\(\widehat{IDB}=\widehat{C}\)

mà \(\Delta ABC\) cân\(\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{C}\)

\(\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{IDB}\)

Xét \(\Delta\) vuông QBD và \(\Delta\) vuông IDB có:

BD: cạnh chung

\(\widehat{B}=\widehat{IDB}\)

\(\Rightarrow\Delta QBD=\Delta IDB\)(cạnh huyền-góc nhọn)

\(\Rightarrow DQ=BI\)(2 cạnh tương ứng) (3)

HPDI là hình chữ nhật\(\Rightarrow\)DP=IH (4)

Từ (3) và (4)\(\Rightarrow\)DQ+DP=BI+IH=BH

Vậy DQ+DP=BH(đpcm)

Giải:

a, G là giao của BD, CE

Mà BD, CE là 2 đường trung tuyến của t/g ABC

=> G là trọng tâm của t/g ABC ( đpcm )

b, Ta có: \(BD< CE\Rightarrow\dfrac{2}{3}BD< \dfrac{2}{3}CE\Rightarrow GB< GC\)

\(\Rightarrow\widehat{GCB}< \widehat{GBC}\left(đpcm\right)\)

Vậy...

À à cái đề có vấn đề nhe. Tớ kẻ góc GCB= góc GBC đấy :)

Câu 3:

a, \(x+y=xy\Rightarrow x=y\left(x-1\right)\)

\(x+y=x:y\Rightarrow x+y=y\left(x-1\right):y\Rightarrow x+y=x-1\)

\(\Rightarrow y=-1\)

Thay y = -1 vào \(x+y=xy\Rightarrow x-1=-x\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}\)

Vậy \(x=\dfrac{1}{2};y=-1\)

b, \(\dfrac{1}{xy+x+1}+\dfrac{y}{yz+y+1}+\dfrac{1}{xyz+yz+y}\)

\(=\dfrac{xyz}{xy+x+xyz}+\dfrac{y}{yz+y+1}+\dfrac{1}{yz+y+1}\)

\(=\dfrac{xyz}{x\left(y+1+yz\right)}+\dfrac{y}{yz+y+1}+\dfrac{1}{yz+y+1}\)

\(=\dfrac{yz}{yz+y+1}+\dfrac{y}{yz+y+1}+\dfrac{1}{yz+y+1}=\dfrac{yz+y+1}{yz+y+1}\)

\(=1\)

Ta có:

6a = 4b = 3c

=> \(\dfrac{6a}{12}=\dfrac{4b}{12}=\dfrac{3c}{12}\)

=> \(\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}=\dfrac{c}{4}\)

=> \(\dfrac{a^2}{4}=\dfrac{b^2}{9}=\dfrac{c^2}{16}\)

Đặt \(\dfrac{a^2}{4}=\dfrac{b^2}{9}=\dfrac{c^2}{16}\)= k

=>\(\left\{{}\begin{matrix}a^2=4k\\b^2=9k\\c^2=16k\end{matrix}\right.\)

Thay \(\left\{{}\begin{matrix}a^2=4k\\b^2=9k\\c^2=16k\end{matrix}\right.\)vào biểu thức N ta được:

N = \(\dfrac{3a^2+6b^2-5c^2}{2a^2-4b^2+3c^2}\)

N = \(\dfrac{3.4k+6.9k-5.16k}{2.4k-4.9k+3.16k}\)

N = \(\dfrac{12k+54k-80k}{8k-36k+48k}\)

N = \(\dfrac{-14k}{20k}\)

N = \(\dfrac{-7}{10}\)

a: \(\widehat{B}>\widehat{C}\)

nên AB<AC

Xét ΔABC có AB<AC

mà DB là hình chiếu của AB trên BC

và DC là hình chiếu của AC trên BC

nên DB<DC

Xét ΔHBC có DB<DC
mà DB là hình chiếu của HB trên BC

và DC là hình chiếu của HC trên BC

nên HB<HC

 b: Xét ΔABC có 

AD là đường cao

BE là đường cao

AD cắt BE tại H

DO đó: H là trực tâm

=>CH\(\perp\)AB

mà HF\(\perp\)AB

và CH,HF có điểm chung là H

nên C,H,F thẳng hàng

Bài làm của bạn đây nhé!!😉😉