Ôn tập cuối năm môn Đại số

a² + b² = 4a + 6b - 9 

⇔ (a - 2)² + (b - 3)² = 4

Đây là phương trình của đường tròn (C) có tâm là I (2;3) và bán kính bằng 2

(d) : 3c + 4d - 1 = là phương trình đường thẳng

Gọi A (a;b) và B (b; d) ⇒ AB = \(\sqrt{\left(a-c\right)^2+\left(b-d\right)^2}\)

Với A nằm trên đường tròn (C) và B nằm trên d

Vẽ đường tròn (C) : (x - 2)² + (y - 3)² = 4 và đường thẳng 
3x + 4y - 1 = 0 trên cùng một hệ trục tọa độ ta thấy chúng không có điểm chung

Cần tìm tọa độ của A và B để AB đạt Min

Từ I kẻ đường thẳng vuông góc với (d) tại N, cắt đường tròn (C) tại M, ta tìm được tọa độ MN

Do MN là khoảng cách ngắn nhất từ một điểm trên (C) đến (d)

Dấu "=" xảy ra khi A trùng M, B trùng N => a,b,c,d

Đoạn này lười quá nên tự làm nha

\(x^2+y^2=1+xy\Rightarrow x^2+y^2-xy=1\)

Ta có: \(1+xy=x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow xy\le1\)

\(1+xy=x^2+y^2\ge-2xy\Rightarrow xy\ge-\dfrac{1}{3}\)

\(P=\left(x^2+y^2\right)^2-x^2y^2-2x^2y^2=\left(x^2+y^2-xy\right)\left(x^2+y^2+xy\right)-2x^2y^2\)

\(=x^2+y^2+xy-2x^2y^2=-2x^2y^2+2xy+1\)

Đặt \(a=xy\Rightarrow P=f\left(a\right)=-2a^2+2a+1\)

Xét hàm \(f\left(a\right)=-2a^2+2a+1\) trên \(\left[-\dfrac{1}{3};1\right]\)

\(-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{1}{2}\in\left[-\dfrac{1}{3};1\right]\)

\(f\left(-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{1}{9}\) ; \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{2}\) ; \(f\left(1\right)=1\)

\(\Rightarrow M=\dfrac{3}{2}\) ; \(m=\dfrac{1}{9}\) \(\Rightarrow Mm=\dfrac{1}{6}\)

ĐKXĐ \(x\ne0,x\ne3\)

Đặt \(|\dfrac{x}{2x-6}|=a\left(a>0\right)\Rightarrow|\dfrac{2x-6}{x}|=\dfrac{1}{a}\)

Phương trình trở thành:

\(3a-\dfrac{1}{a}=2\\ \Rightarrow3a^2-2a-1=0\Leftrightarrow\left(3a+1\right)\left(a-1\right)=0\\ \Leftrightarrow a=1\left(do.a>0\right)\)

\(\Leftrightarrow\left|\dfrac{x}{2x-6}\right|=1\Leftrightarrow x=2x-6...or...x=-\left(2x-6\right)\\ \Leftrightarrow x=6...or...x=2\left(t.m\right)\)

Đặt \(f\left(1\right)=d\)

\(f\left(n+1\right)=af^2\left(n\right)+bf\left(n\right)+\dfrac{b^2}{4a}-\dfrac{b}{2a}\)

\(\Leftrightarrow f\left(n+1\right)+\dfrac{b}{2a}=a\left[f\left(n\right)+\dfrac{b}{2a}\right]^2\)

Đặt \(f\left(n\right)+\dfrac{b}{2a}=g\left(n\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}g\left(1\right)=d+\dfrac{b}{2a}\\g\left(n+1\right)=a.g^2\left(n\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow g\left(n\right)=a.g^2\left(n-1\right)=a\left[a.g^2\left(n-2\right)\right]^2=a^{2^2-1}.g^{2^2}\left(n-2\right)=...=a^{2^{n-1}-1}.\left[g\left(1\right)\right]^{2^{n-1}}\)

\(\Rightarrow g\left(n\right)=a^{2^{n-1}-1}.\left(d+\dfrac{b}{2a}\right)^{2^{n-1}}\)

\(\Rightarrow f\left(n\right)=a^{2^{n-1}-1}.\left(d+\dfrac{b}{2a}\right)^{2^{n-1}}-\dfrac{b}{2a}\) (1)

Sau đó kiểm tra lại công thức (1) bằng quy nạp là được

Để giải các phương trình này, chúng ta sẽ làm từng bước như sau: 1. 13x(7-x) = 26: Mở ngoặc và rút gọn: 91x - 13x^2 = 26 Chuyển về dạng bậc hai: 13x^2 - 91x + 26 = 0 Giải phương trình bậc hai này để tìm giá trị của x. 2. (4x-18)/3 = 2: Nhân cả hai vế của phương trình với 3 để loại bỏ mẫu số: 4x - 18 = 6 Cộng thêm 18 vào cả hai vế: 4x = 24 Chia cả hai vế cho 4: x = 6 3. 2xx + 98x2022 = 98x2023: Rút gọn các thành phần: 2x^2 + 98x^2022 = 98x^2023 Chia cả hai vế cho 2x^2022: x + 49 = 49x Chuyển các thành phần chứa x về cùng một vế: 49x - x = 49 Rút gọn: 48x = 49 Chia cả hai vế cho 48: x = 49/48 4. (x+1) + (x+3) + (x+5) + ... + (x+101): Đây là một dãy số hình học có công sai d = 2 (do mỗi số tiếp theo cách nhau 2 đơn vị). Số phần tử trong dãy là n = 101/2 + 1 = 51. Áp dụng công thức tổng của dãy số hình học: S = (n/2)(a + l), trong đó a là số đầu tiên, l là số cuối cùng. S = (51/2)(x + (x + 2(51-1))) = (51/2)(x + (x + 100)) = (51/2)(2x + 100) = 51(x + 50) Vậy, kết quả của các phương trình là: 1. x = giá trị tìm được từ phương trình bậc hai. 2. x = 6 3. x = 49/48 4. S = 51(x + 50)

nhầm

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}=5\\\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^3-3\left(x+\dfrac{1}{x}\right)-3\left(y+\dfrac{1}{y}\right)=15m-10\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}=5\\\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^3=15m+5\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+\dfrac{1}{x}=u\\y+\dfrac{1}{y}=v\end{matrix}\right.\) với \(\left|u\right|;\left|v\right|\ge2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u+v=5\\u^3+v^3=15m+5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u+v=5\\\left(u+v\right)^3-3uv\left(u+v\right)=15m+5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u+v=5\\uv=-m+8\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow u\left(5-u\right)=-m+8\Leftrightarrow u^2-5u+8=m\)

Ta có: \(v=5-u\) , mà \(\left[{}\begin{matrix}v\ge2\\v\le-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}5-u\ge2\\5-u\le-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u\le3\\u\ge7\end{matrix}\right.\)

Kết hợp \(\left|u\right|\ge2\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}u\le-2\\2\le u\le3\\u\ge7\end{matrix}\right.\)

Xét hàm \(f\left(u\right)=u^2-5u+8\) trên \((-\infty;-2]\cup\left[2;3\right]\cup[7;+\infty)\)

Từ đồ thị \(f\left(u\right)\) ta thấy \(y=m\) cắt \(y=f\left(u\right)\) trên miền đã cho khi \(\left[{}\begin{matrix}\dfrac{7}{4}\le m\le2\\m\ge22\\\end{matrix}\right.\)

Phép dịch đồ thị:

Đồ thị \(f\left(\left|x\right|\right)\) được tạo ra bằng cách bỏ phần bên trái trục Oy và lấy đối xứng phần bên phải trục Oy qua

Đồ thị \(\left|f\left(x\right)\right|\) được tạo ra bằng cách lấy đối xứng phần bên dưới trục Ox lên và sau đó bỏ đi phần dưới trục Ox

Do đó, đồ thị \(f\left(\left|x\right|\right)\) có dạng:

Đồ thị \(\left|f\left(\left|x\right|\right)\right|\) có dạng:

Nhìn đồ thị \(\left|f\left(\left|x\right|\right)\right|\) , ta thấy đường \(y=2m-1\) cắt đồ thị tại 4 điểm pb khi và chỉ khi \(0< 2m-1< \dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}< m< \dfrac{3}{4}\)

Vậy em có thể vẽ chi tiết đồ thị \(y=\left|f\left(\left|x\right|\right)\right|\) ra rồi biện luận cũng được

Đồ thị \(y=f\left(x\right)\) là đường thẳng đi qua 2 điểm \(\left(\dfrac{1}{3};0\right)\) và \(\left(0;-\dfrac{1}{2}\right)\) nên có dạng: \(y=\dfrac{3}{2}x-\dfrac{1}{2}\)

Do đó \(\left|f\left(\left|x\right|\right)\right|=\left|\dfrac{3}{2}\left|x\right|-\dfrac{1}{2}\right|\)

Chia làm 4 khoảng để phá trị tuyệt đối: \(x< -\dfrac{1}{3}\) ; \(-\dfrac{1}{3}< x< 0\) ; \(0< x< \dfrac{1}{3}\) ; \(x>\dfrac{1}{3}\) em sẽ vẽ được chính xác đồ thị hàm số

Sau đó dựa trên đó để biện luận số nghiệm

Đặt \(\sqrt{x^2+4}=a;2y=b\left(a\ge2\right)\)

Hệ phương trình đã cho tương đương:

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=m\\a^2+b^2=m+2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=m\\\left(a+b\right)^2-2ab=m+2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=m\\ab=\dfrac{m^2-m-2}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a,b\) là nghiệm của phương trình \(f\left(t\right)=2t^2-2mt+m^2-m-2=0\left(1\right)\)

Phương trình \(\left(1\right)\) có nghiệm khi \(\Delta'=-m^2+2m+4\ge0\Leftrightarrow1-\sqrt{5}\le m\le1+\sqrt{5}\left(2\right)\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi phương trình \(\left(1\right)\) có nghiệm \(t\ge2\)

TH1: \(t_1\ge t_2\ge2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{m}{2}\ge2\\2.f\left(2\right)\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow...\)

TH2: \(t_1\ge2\ge t_2\)

\(\Leftrightarrow2.f\left(2\right)\le0\Leftrightarrow...\)

Kết hợp điều kiện \(\left(2\right)\) rồi kết luận.