Ôn tập chương IV

\(d\left(M;\Delta\right)=\dfrac{\left|3.2+4.5-m\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=1\)

\(\Leftrightarrow\left|26-m\right|=5\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=21\\m=31\end{matrix}\right.\)

Lấy \(A\left(2;2\right)\) là 1 điểm thuộc \(\Delta_1\)

\(d\left(\Delta_1;\Delta_2\right)=d\left(A;\Delta_2\right)=\dfrac{\left|5.2-7.2+6\right|}{\sqrt{5^2+\left(-7\right)^2}}=\dfrac{\sqrt{74}}{37}\)

Do \(C\in\Delta\) nên tọa độ có dạng: \(C\left(1+t;2+t\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AC}=\left(t+2;t\right)\\\overrightarrow{BC}=\left(t-2;t+1\right)\end{matrix}\right.\)

\(AC=BC\Rightarrow AC^2=BC^2\)

\(\Rightarrow\left(t+2\right)^2+t^2=\left(t-2\right)^2+\left(t+1\right)^2\)

\(\Rightarrow6t=1\Rightarrow t=\dfrac{1}{6}\)

\(\Rightarrow C\left(\dfrac{7}{6};\dfrac{13}{6}\right)\)

Gọi d' là đường thẳng qua A và vuông góc d

\(\Rightarrow d'\) nhận (2;1) là 1 vtpt

Phương trình d':

\(2\left(x-4\right)+1\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow2x+y-9=0\)

Hình chiếu vuông góc của A lên d là giao điểm d và d' có tọa độ là nghiệm:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y+4=0\\2x+y-9=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{14}{5}\\y=\dfrac{17}{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x^2+10-\dfrac{2x^2+1}{x^2-8}\le0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^4-81}{x^2-8}\le0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-3\right)\left(x+3\right)\left(x^2+9\right)}{\left(x-2\sqrt{2}\right)\left(x+2\sqrt{2}\right)}\le0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}-3\le x< -2\sqrt{2}\\2\sqrt{2}< x\le3\end{matrix}\right.\)

f(x)=−2x²+(m+2)x+m−4≤0,∀x

⇔{a<0Δ<0

⇔{−2<0   ;  m²+12m−28<0

⇔−14<m<2

\(f\left(x\right)\le0;\forall x\in R\)

\(\Leftrightarrow\Delta=\left(m+2\right)^2+8\left(m-4\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow m^2+12m-28\le0\)

\(\Rightarrow-14\le m\le2\)

Tập nghiệm của BPT là: \(\left[{}\begin{matrix}-3< x\le-1\\0\le x< 1\\x>1\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}2x-1>0\\x-m< 2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>\dfrac{1}{2}\\x< m+2\end{matrix}\right.\)

Hệ có nghiệm khi \(m+2>\dfrac{1}{2}\Rightarrow m>-\dfrac{3}{2}\)

25.

\(R=\dfrac{BC}{2}\)

\(r=\dfrac{BC}{2}.tan\left(\dfrac{45^0}{2}\right)=\dfrac{BC\left(\sqrt{2}-1\right)}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{R}{r}=\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}=1+\sqrt{2}\)

26.

\(\left\{{}\begin{matrix}a=2R.sinA\\b=2RsinB\\c=2RsinC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2R.sinA+2R.sinB=2.2R.sinC\)

\(\Rightarrow sinA+sinB=2sinC\)

27.

\(p=\dfrac{13+14+15}{2}=21\)

\(S=\sqrt{p\left(p-13\right)\left(p-14\right)\left(p-15\right)}=84\)

28.

\(AM=\sqrt{\dfrac{2\left(AB^2+AC^2\right)-BC^2}{4}}=7,5\left(cm\right)\)

Lấy \(O\left(0;0\right)\) là 1 điểm thuộc \(d_2\)

\(\Rightarrow d\left(d_1;d_2\right)=d\left(O;d_1\right)=\dfrac{\left|6.0-8.0-101\right|}{\sqrt{6^2+\left(-8\right)^2}}=\dfrac{101}{10}\)