Ôn tập chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba

Dễ thấy nếu a;b;c;d>0 mà \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}< 1\Leftrightarrow a;b;c;d>1\)(1)

Xét \(\dfrac{1}{x+y+\sqrt{x^2+y^2}}+\dfrac{1}{x+y-\sqrt{x^2+y^2}}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\\ \)

Như vậy, qua các phép biến đổi, tổng nghịch đảo các số trên bảng không thay đổi.

Theo (1) suy ra ko bao h xuất hiện số nhỏ hơn 1.

a, Thấy dãy số 12;13;14;15 có 2 số chia hết cho 3 là 12;15.

Nếuthực hiện phép đổi số :Mỗi bước xóa hai số và thay bằng tổng và tích hai số vừa bị xóa.

Thì chắc chắn rằng cuối cùng ta luôn đc 4 số mà trong đó có ít nhất 2 số chia hết cho 3( Vì số chia hết cho 3 nhân vs bất kì số nào vẫn chia hết cho 3).

Vì vậysau hữu hạn lần thay số ko bao h thu được các số :2012,2013,2014,2015 vì trong cả 4 số chỉ có 1 số duy nhất chia hết cho 3 là 2013.

b, Lập luận t. tự như câu a.

Dãy số 12;13;14;15 có 2 số chẵn nên nếu thức hiện phép đổi số như trên thì sau hữu hạn lần bất kỳ luôn luôn có ít nhất là 2 số chẵn ( Vì sỗ chẵn nhân với bất kỳ số nào vẫn đc số chẵn).

Vậy ko bao h thu đc dãy số 99,150,151,201.

ta có: \(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\)

CM: ta có \(VP=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}\)

\(VP=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1-n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=VT\)

ta có bpt \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}>\dfrac{1}{2\sqrt{n+1}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{n+1}+\sqrt{n}< 2\sqrt{n+1}\)

mà \(n< n+1\Rightarrow\sqrt{n}< \sqrt{n+1}\)

\(\Rightarrow\sqrt{n+1}+\sqrt{n}< 2\sqrt{n+1}\) (đpcm)

a) đặt x + 3 =t

Sau đó khai triển (a+-b)⁴ =

Rút gọn được pt bậc 2 nhé

b) đặt x+5 =t

c) đặt x-3 =t

b) (t-3)⁴ +(t+3)⁴=272

(t⁴-4t³.3+6t².3²-4t.3³+3⁴)+ (t⁴+4t³.3+6t².3²+4t.3³+3⁴)=272

(t⁴+6t².3²+3⁴)=136

t⁴+54t²-55=0=. t²=1; t²=-55(loai)

t² =1=>x+5=\(\pm\)1

=>x =-6 hoặc x =-4

\(A=\dfrac{x+3+2\sqrt{x^2-9}}{2x-6+\sqrt{x^2-9}}=\dfrac{\left(\sqrt{x+3}\right)^2+2\sqrt{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}}{2\left(\sqrt{x-3}\right)^2+\sqrt{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}}\)

\(A=\dfrac{\sqrt{x+3}.\left(\sqrt{x+3}+2\sqrt{x-3}\right)}{\sqrt{x-3}.\left(2\sqrt{x-3}+\sqrt{x+3}\right)}=\dfrac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{x-3}}\)

Câu 3: 9x + 5y + 18 = 2xy

<=> 9(x - 2) - 2y(x - 2) = -y - 36

<=> (x - 2)(9 - 2y) = -y - 36

<=> x - 2 = \(\dfrac{-y-36}{9-2y}\) (1)

Do x - 2 nguyên nên \(-y-36⋮9-2y\)

\(\Rightarrow2y+72⋮9-2y\)\(\Rightarrow2y+72+9-2y⋮9-2y\)

\(\Rightarrow81⋮9-2y\)\(\Rightarrow9-2y\in\left\{1;-1;3;-3;9;-9;27;-27;81;-81\right\}\)

\(\Rightarrow y\in\left\{4;5;3;6;0;9;-9;18;-36;45\right\}\)

Thay lần lượt giá trị của y vào (1) ta được các cặp giá trị (x;y) thỏa mãn là: (43;5); (-11;3); (7;9); (1;-9); (3;45)

Câu 4:

a) 2x² + 2x + 1 = \(\sqrt{4x+1}\) (đk: \(x\ge-\dfrac{1}{4}\))

\(\Rightarrow\left(2x^2+2x+1\right)^2=4x+1\)

<=> 4x⁴ + 4x² + 1 + 8x³ + 4x + 4x² - 4x - 1 = 0

<=> 4x⁴ + 8x³ + 8x² = 0 (*)

+) x = 0, thay vào (*) thỏa mãn

+) x \(\ne0\), chia cả 2 vế của (*) cho 4x² ta được:

x² + 2x + 2 = 0

<=> (x + 1)² + 1 = 0, vô nghiệm

Vậy pt có nghiệm x = 0

Câu 4:

b) x + |y - 1| = -1 => |y - 1| = -1 - x \(\ge0\) (*)

=> x \(\le-1\)

Thay |y - 1| = -1 - x vào |x - 2| + 2|y - 1| = 9 ta được

|x - 2| + 2.(-1 - x) = 9

=> |x - 2| - 2x = 11 (1)

Do x\(\le-1\) nên (1) trở thành: 2 - x - 2x = 11 => -9 = 3x => x = -3 (TM)

Thay vào (*) => |y - 1| = -1 - (-3) = 2 \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y-1=2\\y-1=-2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=3\\y=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy (x;y)=(-3;3); (x;y)=(-3;-1)

Thk lm bài vận tốc dễ sợ lun!

Câu 5:

Đổi 12 phút = \(\dfrac{1}{5}\)h ; 3 giờ 30 phút = \(\dfrac{7}{2}\)h

Gọi quãng đường AB là x ( x > 82,5 ) km

=> Thời gian ca nô xuôi dòng là: \(\dfrac{x}{60}\) h

Thời gian ca nô ngược dòng là: \(\dfrac{x}{50}\) h

Vì tổng thời gian cả đi lẫn về và thời gian nghỉ thì mất tất cả \(\dfrac{7}{2}\)h

Nên ta có PT:

\(\dfrac{x}{60}+\dfrac{x}{50}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{7}{2}\)

<=> \(x\left(\dfrac{1}{50}+\dfrac{1}{60}\right)=\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{5}\)

<=> \(\dfrac{11}{300}x=\dfrac{33}{10}\)

<=> \(x=90\) (TM)

Ta lại có: v_{dòng nước} = ( v_{xuôi dòng} - v_{ngược dòng} ) : 2

= ( 60 - 50) : 2 = 5 (km/h)

Vậy ............................................

P/s: Điều kiện của S_AB bn cx ko cần lấy sát như v, chỉ cần x > 0 cx đc!

4a)

\(\dfrac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2}-\sqrt{3}}\)

\(=\dfrac{2+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{2-\sqrt{3}}{-\sqrt{3}}\)

\(=\dfrac{\left(2+\sqrt{3}\right)\cdot\left(2\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}{5}-\dfrac{\left(2-\sqrt{3}\right)\sqrt{3}}{3}\)

\(=\dfrac{4\sqrt{2}-2\sqrt{3}+2\sqrt{6}-3}{5}-\dfrac{2\sqrt{3}-3}{3}\)

\(=\dfrac{3\left(4\sqrt{2}-2\sqrt{3}+2\sqrt{6}-3\right)-5\left(2\sqrt{3}-3\right)}{15}\)

\(=\dfrac{12\sqrt{2}-6\sqrt{3}+6\sqrt{6}-9-10\sqrt{3}+15}{15}\)

\(=\dfrac{12\sqrt{2}-16\sqrt{3}+6\sqrt{6}+6}{15}\)

Câu 1:

b) Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}\ge2\sqrt{\dfrac{yz}{x}.\dfrac{xz}{y}}=2z\) (1)

Tương tự: \(\dfrac{xz}{y}+\dfrac{xy}{z}\ge2x\) (2) ; \(\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xy}{z}\ge2y\) (3)

Cộng (1);(2);(3) vế theo vế ta được:

\(2\left(\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}+\dfrac{xy}{z}\right)\ge2\left(x+y+z\right)\)

<=> \(\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}+\dfrac{xy}{z}\ge x+y+z\) (đpcm)

Bài này hay phết: Theo mik bạn nên thêm ĐK: x;y;z đồng thời khác 0.

Có \(2x^3=3y^3=4z^3\\ \)

Mong đề bài của bạn ko thiếu

Hình như thiếu ĐK\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\\ \)

Hình như sai đề bạn ơi???

thua so 3

thừa làm sao mà thừa :(

\(ax^3=by^3=cz^3\Rightarrow\dfrac{ax^2}{\dfrac{1}{x}}=\dfrac{by^2}{\dfrac{1}{y}}=\dfrac{cz^2}{\dfrac{1}{z}}=\dfrac{ax^2+by^2+cz^2}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}=ax^2+by^2+cz^2\)

=> \(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{ax^3}=\sqrt[3]{by^3}=\sqrt[3]{cz^3}\)

\(=\dfrac{\sqrt[3]{a}}{\dfrac{1}{x}}=\dfrac{\sqrt[3]{b}}{\dfrac{1}{y}}=\dfrac{\sqrt[3]{c}}{\dfrac{1}{z}}=\dfrac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}.\)

Vay \(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\)\(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}.\)