Ôn tập chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba

Ta có:

\(\sqrt[4]{4}VT=\sqrt[4]{4}\sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{4}\sqrt[4]{b^3}+\sqrt[4]{4}\sqrt[4]{c^3}\)

\(=\sqrt[4]{4a^3}+\sqrt[4]{4b^3}+\sqrt[4]{4c^3}\)

\(=\sqrt[4]{\left(a+b+c\right)a^3}+\sqrt[4]{\left(a+b+c\right)b^3}+\sqrt[4]{\left(a+b+c\right)c^3}\)

\(>\sqrt[4]{a^4}+\sqrt[4]{b^4}+\sqrt[4]{c^4}=a+b+c\)

\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{a+b+c}{\sqrt[4]{4}}=\dfrac{4}{\sqrt[4]{4}}=2\sqrt{2}\)

\(P=\dfrac{1}{xy+\dfrac{2}{xy}}=\dfrac{1}{xy+\dfrac{1}{16xy}+\dfrac{31}{16xy}}\le\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}+\dfrac{31}{16.\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2}}\le\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}+\dfrac{31}{4}}=\dfrac{4}{33}\)

mình nghĩ là ntn

áp dụng BĐT AM-GM

\(\dfrac{xy}{x^2y^2+2}\le\dfrac{xy}{2\sqrt{2}xy}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\)

\(maxP=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\)

dấu = xảy ra khi x,y thỏa mãn

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y\le1\\xy=\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

chắc là sai rồi

\(M=\dfrac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+2}}\)

ĐKXĐ:x\(\ge\)1

M=\(\sqrt{\dfrac{x-1}{x+2}}=\sqrt{\dfrac{x+2-3}{x+2}}=\sqrt{1-\dfrac{3}{x+2}}\)

Để M lớn nhất thì \(\dfrac{3}{x+2}\) phải bé nhất <=>x+2 lớn nhất(không tìm được)

=>không tồn tại GTLN của M

---câu thứ 2 đọc đề không hiểu---

2.ĐKXĐ:x>-1

\(P=\dfrac{x+3}{\sqrt{x+1}}=\dfrac{x+1+2}{\sqrt{x+1}}=\sqrt{x+1}+\dfrac{2}{\sqrt{x+1}}\)

Áp dụng BĐT cosi cho 2 số dương

\(\sqrt{x+1}+\dfrac{2}{\sqrt{x+1}}\ge2\sqrt{\dfrac{2\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}}=2\sqrt{2}\)

Dấu = xảy ra khi x+1=2<=>x=1

=>GTNN của P=2\(\sqrt{2}\)đạt tại x=1

Sửa đề: \(\left(3x^2-6x\right)\left(\sqrt{2x-1}+1\right)=2x^3-5x^2+4x-4\)

Đk:\(x\ge\dfrac{1}{2}\)

\(pt\Leftrightarrow3x\left(x-2\right)\left(\sqrt{2x-1}+1\right)=\left(x-2\right)\left(2x^2-x+2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left[2x^2-x+2-3x\left(\sqrt{2x-1}+1\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left[2x^2-4x+2-3x\sqrt{2x-1}\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\2x^2-4x+2-3x\sqrt{2x-1}=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow2x^2-2\left(2x-1\right)-3x\sqrt{2x-1}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x^2-4x\sqrt{2x-1}\right)+\left(x\sqrt{2x-1}-2\left(2x-1\right)\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2x\left(x-2\sqrt{2x-1}\right)+\sqrt{2x-1}\left(x-2\sqrt{2x-1}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+\sqrt{2x-1}\right)\left(x-2\sqrt{2x-1}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x=-\sqrt{2x-1}\left(loai\right)\\x=2\sqrt{2x-1}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x^2=4\left(2x-1\right)\Leftrightarrow x^2-8x+4=0\)

\(\Leftrightarrow x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{8\pm\sqrt{48}}{2}\) (thỏa)

Vậy pt có nghiệm \(x=2;x=\dfrac{8\pm\sqrt{48}}{2}\)

Cách giải thì giống như bạn ở trên làm nhé. Nhưng mà t chỉ m (Nguyễn Thị Nguyệt ) đặt ẩn phụ sẽ dễ đặt nhân tử hơn.

Đặt \(\sqrt{2x-1}=a\) thì ta có:

\(\left(x-2\right)\left(2x^2-4x+2-3x\sqrt{2x-1}\right)=0\)

Cái phần còn lại ấy:

\(2x^2-4x+2-3x\sqrt{2x-1}=0\)

\(\Leftrightarrow2x^2-2a^2-3xa=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x^2-4ax\right)+\left(-2a^2+ax\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2a\right)\left(2x+a\right)=0\)

Chỉ cần đặt ẩn phụ như vậy thì bài toán đễ phân tích nhân tử hơn rất nhiều thấy không :D

đề có bị nhầm thành 3x²-6x ko nhỉ

Đk:\(x\ge\sqrt{15}\)

Đặt \(\sqrt{x^2-15}=a;\sqrt{x-3}=b\left(a,b>0\right)\)

Thì \(a^2+b^2=x^2+x-18\) khi đó

\(pt\Leftrightarrow a^2+b^2+1=ab+a+b\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2b^2}=2ab\\b^2+1\ge2\sqrt{b^2}=2b\\a^2+1\ge2\sqrt{a^2}=2a\end{matrix}\right.\)

Cộng theo vế rồi thu gọn 3 BĐT trên ta có:

\(VT=a^2+b^2+1\ge ab+a+b=VP\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=2ab\\b^2+1=2b\\a^2+1=2a\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow a=b=1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2-15}=1\\\sqrt{x-3}=1\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-15=1\\x-3=1\end{matrix}\right.\Rightarrow x=4\left(x\ge\sqrt{15}\right)\)

đặt \(am^3=bn^3=cp^3=k^3\)

\(\Rightarrow a=\dfrac{k^3}{m^3};b=\dfrac{k^3}{n^3};c=\dfrac{k^3}{p^3}\)

VT=\(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=\dfrac{k}{m}+\dfrac{k}{n}+\dfrac{k}{p}=k\)

VF=\(\sqrt[3]{\dfrac{k^3}{m}+\dfrac{k^3}{n}+\dfrac{k^3}{p}}=\sqrt[3]{k^3}=k\)

do đó VT=VF, đẳng thức được chứng minh

Ph là 21 số tự nhiên từ 1 tới 21 chứ

Bn chú ý nha: Nếu a1+a2+a3+...+an= chẵn thì mỗi lần ta xóa đi 2 số bất kì trong n số trên và viết lên bảng số có giá trị bằng giá trị tuyệt đối của hiệu 2 số đó thì ta luôn đc KQ là 1 sỗ chẵn ( Lý thuyết bất biến và nửa bất biến trong toán tổ hợp).

Vs số lẻ cx vậy.

CM:

Từ 1-21 có tổng là 1 số lẻ \(\Rightarrow\) Nếu lm như trên thì số cuối cùng luôn là 1 số lẻ ko thể là 10.

Bn lớp mấy vậy?

Mik gợi ý nha:

Tách thành 4 nhóm:

+Nhóm 1: Từ 1-9

+Nhóm 2: Từ 10-99

+Nhóm 3: Từ 100-999

+Nhóm 4: 1000

Nhóm 1 để nguyên.

Tách nhóm 2: (10-18);(19-27);(28-36);...;(82-90);(91-99)

Dễ thấy mỗi nhóm tách ở trên nếu mỗi bước chọn một số thay bằng số có giá trị bằng tổng các chữ số của số đã chọn thì ta đc nhóm 1.

VD: Từ 10-18 lm như để bài sẽ được (1+0);(1+1);(1+2);...;(1+8)

hay (1-9)

\(\Rightarrow\)Các số từ 1 tới 9 xuất hiện vẫn bằng nhau.

Nhóm 3: cx t tự nhóm 2

Tách:(100-108);(109-117);...;(991-999)

Và xác số từ 1 tới 9 xuất hiện vẫn bằng nhau.

Nhóm 4:1000 hay là số 1

\(\Rightarrow\)Số 1 xuất hiện nhiều nhất.

Bài này áp dụng phương pháp đại lượng bất biến.

mờ quá bạn