Question

Câu 1:

Cho biểu thức: \(f_{\left(x\right)}=\) \(\dfrac{2\left(1-\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}-4}+\dfrac{x\left(\sqrt{x}-3\right)-2\left(5\sqrt{x}+8\right)}{x-3\sqrt{x}-4}\)

a) Rút gọn biểu thức \(f_{\left(x\right)}\)

b) Tìm x để \(f_{\left(x\right)}\) đạt GTNN

Câu 2:

Giải PT: \(2\left(x-1\right)^2=3\left(\sqrt{x^3+2x^2-2x+3}+2\right)\)

Câu 3:

Tìm nghiệm nguyên của PT: \(9x+5y+18=2xy\)

Câu 4:

a) Giải PT: \(2x^2+2x+1=\sqrt{4x+1}\)

b) Giải hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}\left|x-2\right|+2\left|y-1\right|=9\\x+\left|y-1\right|=-1\end{matrix}\right.\)

Câu 5:

a) Cho S = \(1+3+3^2+3^3+3^4+...+3^{98}+3^{99}\)

Chứng minh: S \(⋮\) 40

b) Rút gọn phân thức: \(\dfrac{a^3+b^3+c^3-3abc}{\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2}\)

Answer 1

Câu 3: 9x + 5y + 18 = 2xy

<=> 9(x - 2) - 2y(x - 2) = -y - 36

<=> (x - 2)(9 - 2y) = -y - 36

<=> x - 2 = \(\dfrac{-y-36}{9-2y}\) (1)

Do x - 2 nguyên nên \(-y-36⋮9-2y\)

\(\Rightarrow2y+72⋮9-2y\)\(\Rightarrow2y+72+9-2y⋮9-2y\)

\(\Rightarrow81⋮9-2y\)\(\Rightarrow9-2y\in\left\{1;-1;3;-3;9;-9;27;-27;81;-81\right\}\)

\(\Rightarrow y\in\left\{4;5;3;6;0;9;-9;18;-36;45\right\}\)

Thay lần lượt giá trị của y vào (1) ta được các cặp giá trị (x;y) thỏa mãn là: (43;5); (-11;3); (7;9); (1;-9); (3;45)

Answer 2

Câu 4:

a) 2x² + 2x + 1 = \(\sqrt{4x+1}\) (đk: \(x\ge-\dfrac{1}{4}\))

\(\Rightarrow\left(2x^2+2x+1\right)^2=4x+1\)

<=> 4x⁴ + 4x² + 1 + 8x³ + 4x + 4x² - 4x - 1 = 0

<=> 4x⁴ + 8x³ + 8x² = 0 (*)

+) x = 0, thay vào (*) thỏa mãn

+) x \(\ne0\), chia cả 2 vế của (*) cho 4x² ta được:

x² + 2x + 2 = 0

<=> (x + 1)² + 1 = 0, vô nghiệm

Vậy pt có nghiệm x = 0

Answer 3

Câu 4:

b) x + |y - 1| = -1 => |y - 1| = -1 - x \(\ge0\) (*)

=> x \(\le-1\)

Thay |y - 1| = -1 - x vào |x - 2| + 2|y - 1| = 9 ta được

|x - 2| + 2.(-1 - x) = 9

=> |x - 2| - 2x = 11 (1)

Do x\(\le-1\) nên (1) trở thành: 2 - x - 2x = 11 => -9 = 3x => x = -3 (TM)

Thay vào (*) => |y - 1| = -1 - (-3) = 2 \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y-1=2\\y-1=-2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=3\\y=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy (x;y)=(-3;3); (x;y)=(-3;-1)