Bài 2: Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

a) \(\dfrac{4\left(x-4\right)}{12}\)-\(\dfrac{3x}{12}\)-\(\dfrac{12}{12}\) = 0

\(\dfrac{4x-16-3x-12}{12}=0\)

\(\dfrac{x-28}{12}\)\(=0\)

x - 28 = 0

x = 28

Vậy x = 28

+)a>1

\(\Leftrightarrow a\cdot a>1\cdot a\left(a>0\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2>a\)

+)\(0< a< 1\)

\(\Leftrightarrow a\cdot a< 1\cdot a\left(a>0\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2< a\)

*Ta có:

a < b

=> a + b < b + b ( cộng 2 vế cho b )

=> a + b < 2b

* Ta có: a < b

=> -a > -b

xét hiệu

\(a+\dfrac{1}{a}-2\ge0\)

<=>\(\dfrac{a^2}{a}+\dfrac{1}{a}-\dfrac{2a}{a}\ge0\)

<=>\(\dfrac{a^2-2a+1}{a}\ge0\)

<=>\(\dfrac{\left(a-1\right)^2}{a}\ge0\) (1)

do a>0

(a-1)² >0

=> (1) luôn đúng

=> đpcm

Áp dụng bđt AM-GM cho hai số dương \(a,\dfrac{1}{a}\) ta được:

\(a+\dfrac{1}{a}\ge2\sqrt{a.\dfrac{1}{a}}=2\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Links:

Chứng minh $a^2+5b^2-(3a+b)\geq 3ab-5$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

Chứng minh a^2 + 5b^2 - (3a + b) ≥ 3ab - 5 - Toán học Lớp 8 - Bài tập Toán học Lớp 8 - Giải bài tập Toán học Lớp 8 | Lazi.vn - Cộng đồng Tri thức & Giáo dục

Ta có:

\(a+b+c=1\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=1\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=1\)

\(\Rightarrow2ab+2ac+2bc=1-a^2-b^2-c^2\)

\(\Rightarrow2\left(ab+ac+bc\right)=1-a^2-b^2-c^2\)

Vì \(1-a^2-b^2-c^2< 1\)

\(\Rightarrow2\left(ab+ac+bc\right)< 1\)

\(\Rightarrow ab+ac+bc< \dfrac{1}{2}\)

a + b + c =1 ⇔ (a + b + c)² = 1

⇔ a² + b² + c² + 2ab +2ac +2bc = 1

⇔2(ab + bc +ca) = 1 - a² + b² + c²

⇒2(ab + bc + ca) < 1

⇔ ab + bc +ca < \(\dfrac{1}{2}\)

Ta có:\(P=\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\left(đkxđ:a,b\ne0\right)\)

\(P=1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+1\)

\(P=2+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\)

Vì a,b là 2 số cùng dấu\(\Rightarrow\dfrac{a}{b};\dfrac{b}{a}>0\)

AM-GM:

\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{b}{a}}=2\)

\(\Rightarrow P\ge2+2=4\)

\(\Rightarrow MINP=4\Leftrightarrow a=b\)

1a)\(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

b)\(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{9}\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

2a)\(a^2+\dfrac{b^2}{4}\ge ab\)

\(\Leftrightarrow a^2-ab+\dfrac{b^2}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2\cdot\dfrac{1}{2}b\cdot a+\left(\dfrac{1}{2}b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-\dfrac{1}{2}b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

b)Đã cm

c)\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=1

2. a) a² + \(\dfrac{b^2}{4}\)≥ab

<=> a² - ab + \(\dfrac{b^2}{4}\)≥ 0

<=> a² -2.\(\dfrac{b}{2}a+\left(\dfrac{b}{2}\right)^2\) ≥ 0

<=> \(\left(a-\dfrac{b}{2}\right)^2\)≥ 0 ( luôn đúng )

=> đpcm

b) ( a + b)² ≤ 2( a² + b²)

<=> a² + 2ab + b² - 2a² - 2b² ≤ 0

<=> - ( a² - 2ab + b² ) ≤ 0

<=> - ( a - b)² ≤ 0 ( luôn đúng )

=> đpcm

c) a² + b² + 1 ≥ ab + a + b

<=> 2( a² + b² + 1 ) ≥ 2( ab + a + b)

<=> a² - 2ab + b² + a² - 2a + 1 + b² - 2b + 1 ≥ 0

<=> ( a - b)² + ( a - 1)² + ( b - 1)² ≥ 0 ( luôn đúng )

=> đpcm

Sửa đề cmr \(a^3+b^3\ge a^2b+ab^2\) và a,b>0

\(\Leftrightarrow a^3+b^3-a^2b-ab^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(luôn đúng)