Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại N. Qua A kẻ đg // BC cắt (O) tại M. NM cắt (O) tại K. NO cắt (O) tại I.AK cắt BC tại H. C/m H là trđ BC
Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại N. Qua A kẻ đg // BC cắt (O) tại M. NM cắt (O) tại K. NO cắt (O) tại I.AK cắt BC tại H. C/m H là trđ BC
Lời giải:
*** Mình chưa thấy điểm $I$ có vai trò gì trong bài này.
Gọi $D$ là giao điểm $BC, AN$ và $L$ là giao $AN$ với $(O)$
Dễ thấy $\triangle ABN=\triangle MCN$ do:
$AB=MC$ (tính chất cung bị chặn bởi 2 dây song song)
$NB=NC$
$\widehat{ABN}=\frac{1}{2}\text{sđc(AB>)}=\frac{1}{2}\text{sđc(MC>)}=\widehat{MCN}$
Do đó:
$\widehat{BAD}=\widehat{BAN}=\widehat{CMN}=\widehat{CAH}$
$\Rightarrow \widehat{BAH}=\widehat{CAD}$
Ta có:
$\frac{HB}{CH}=\frac{S_{ABH}}{S_{ACH}}=\frac{AB.AH.\sin BAH}{AC.AH.\sin CAH}=\frac{AB.\sin BAH}{AC\sin CAH}$
$=\frac{AB}{AC}.\frac{\sin BAH}{\sin CAH}=\frac{AB}{AC}.\frac{\sin CAD}{\sin BAD}=\frac{AB}{AC}.\frac{\sin CAL}{\sin BAL}=\frac{AB}{AC}.\frac{\sin CBL}{\sin BCL}=\frac{AB}{AC}.\frac{LC}{BL}(*)$
Mà:
Dễ cm $\triangle ABN\sim \triangle BLN, \triangle ACN\sim \triangle CLN$
$\Rightarrow \frac{AB}{BL}=\frac{BN}{LN}=\frac{CN}{LN}=\frac{AC}{CL}$
$\Rightarrow \frac{LC}{BL}=\frac{AC}{AB}(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow \frac{BH}{HC}=\frac{AB}{AC}.\frac{AC}{AB}=1$
$\Rightarrow BH=HC$ nên $H$ là trung điểm của $BC$
** Đây là bài toán liên quan đến đường đẳng giác, đường đối trung. Bạn có thể google search để hiểu chuyên sâu hơn về tính chất của đường này.
BT: Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Kẻ 2 tiếm tuyến Ax, By của nửa đường tròn (O). Qua M thuộc nửa đường tròn ( M ≠ A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt các tia Ax và By theo thứ tự tại C và D
a, C/m: ΔCOD vuông
b, C/m: AC.BD = R2
c, Kẻ MH ⊥ AB. C/m: BC đi qua trung điểm của MH
Lời giải:
a)
Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có $CM=CA$. Mà $CM\perp MO, CA\perp OA$ nên $C$ cách đều 2 cạnh $OM, OA$. Do đó $OC$ là phân giác $\widehat{MOA}$
$\Rightarrow \widehat{COM}=\frac{1}{2}\widehat{AOM}$
Tương tự:
$\widehat{DOM}=\frac{1}{2}\widehat{DOM}$
$\Rightarrow \widehat{COD}=\widehat{COM}+\widehat{DOM}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}=90^0$
$\Rightarrow \triangle COD$ vuông tại $O$
b)
$AC.BD=CM.DM(1)$
Tam giác $COD$ vuông tại $O$ có $OM\perp CD$ nên theo hệ thức lượng trong tam giác ta có:
$CM.DM=OM^2=R^2(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow AC.BD=R^2$
c) Gọi $I$ là giao $BC$ và $MH$
$K$ là giao $BM$ và $Ax$
Ta có:
Vì $KC\parallel DB$ nên $\widehat{CKM}=\widehat{DBM}$ (so le trong)
$\widehat{DBM}=\widehat{DMB}=\widehat{KMC}$ (do $DM=DB$ nên tam giác $DMB$ cân tại D)
Do đó: $\widehat{CKM}=\widehat{KMC}$ nên tam giác $CKM$ cân tại $C$
$\Rightarrow CK=CM$. Mà $CM=CA$ nên $CK=CA$
Mặt khác:
$MH\parallel Ax$ (cùng vuông góc $AB$) nên theo định lý Talet:
$\frac{MI}{KC}=\frac{BI}{BC}=\frac{IH}{CA}$
Vừa cm được $KC=CA$ nên $MI=IH$ hay $I$ là trung điểm $MH$
Ta có đpcm.
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Lấy điểm C trên OB \(\left(C\ne O;C\ne B\right)\) sao cho đường thẳng (d) đi qua C vuông góc với AB. Đường thẳng (d) cắt nửa đường tròn (O) tại M, lấy điểm \(N\in\stackrel\frown{MB}\) , tia AN cắt (d) tại F, tia BN cắt (d) tại E. Biết AE cắt nửa đường tròn (O) tại D, chứng minh rằng: \(CF\) là tia phân giác của góc \(DCN\).
Xin lỗi bạn vì bây giờ mình mới onl để trả lời được .
Lời giải:
Bài này mấu chốt là việc chỉ ra $D,F,B$ thẳng hàng.
Theo tính chất góc nội tiếp chắn đường kính suy ra \(\widehat{ANB}=90^0\) hay \(AN\perp EB\)
Xét tam giác $EAB$ có \(AN\perp EB, EC\perp AB\) và \(AN\cap EC=F\) nên $F$ là trực tâm của tam giác $EAB$
Do đó: \(BF\perp EA\)
Mà \(BD\perp EA\) do \(\widehat{ADB}=90^0\) (góc nội tiếp chắn đường kính)
\(\Rightarrow BF\parallel BD\Rightarrow B,D,F\) thẳng hàng.
\(\Rightarrow \widehat{FDA}=90^0\)
Xét tứ giác $FDAC$ có \(\widehat{FDA}+\widehat{FCA}=90^0+90^0=180^0\) nên là tứ giác nội tiếp
\(\Rightarrow \widehat{DCF}=\widehat{DAF}=\widehat{DAN}(1)\)
Mặt khác:
Tổng hai góc đối \(\widehat{FCB}+\widehat{FNB}=90^0+90^0=180^0\) nên tứ giác $FNBC$ nội tiếp
\(\Rightarrow \widehat{NCF}=\widehat{NBF}=\widehat{NBD}(2)\)
Từ \((1); (2)\) kết hợp với \(\widehat{DAN}=\widehat{NBD}\) (hai góc nội tiếp chắn cung DN) suy ra \(\widehat{DCF}=\widehat{NCF}\), hay $CF$ là tia phân giác của góc \(\widehat{DCN}\).
Ta có đpcm.
@Nguyễn Thanh Hằng , @Aki Tsuki, @Akai Haruma, @Nhã Doanh, @Nguyễn Huy Thắng, @Neet, @Ngô Thanh Sang giúp với!!!!!!!!!!!!
Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M thuộc AC. Vẽ đường tròn O đường kính MC cắt BC tại E. Nối BM cắt đường tròn O tại N. Nói AN cắt đường tròn O tại D. Lấy I đối xứng với M qua A, K đối xứng với M qua E. Chứng minh:
a. Tứ giác BANC nội tiếp.
b. CA là phân giác của góc BCD
c. ABED là hình thang.
d. Tìm vị trí của M để đường tròn ngoại tiếp tam giác BIK có bán kính R nhỏ nhất.
Câu a:
Xét tứ giác ABCN có: \(\widehat{BAC}=\widehat{CNB}=90^0\)
⇒ ABCN nội tiếp
Câu b:
\(M,C,D,N\in\left(O\right)\)
⇒ MCDN nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{DCM}+\widehat{DNM}=180^0\)
mà \(\widehat{DNM}+\widehat{BNA}=180^0\left(\text{2 góc kề bù}\right)\)
⇒ \(\widehat{DCM}=\widehat{BNA}\)
mà \(\widehat{ACB}=\widehat{BNA}\) (ABCN nội tiếp)
⇒ \(\widehat{DCM}=\widehat{ACB}\)
⇒ CA là tia phân giác của \(\widehat{BCD}\)
Câu c:
Vì ABCN nội tiếp nên \(\widehat{ABC}+\widehat{ANC}=180^0\)
mà \(\widehat{DNC}+\widehat{ANC}=180^0\left(\text{2 góc kề bù}\right)\)
⇒ \(\widehat{ABC}=\widehat{DNC}\)
mà \(\widehat{DEC}=\widehat{DNC}\left(\text{cùng chắn }\stackrel\frown{DC}\text{ của }\left(O\right)\right)\)
⇒ \(\widehat{ABC}=\widehat{DEC}\) tại vị trí đồng vị
⇒ AB // DE
⇒ ABED là hình thang
Câu d:
• Theo gt, ta có: M đx K qua E
mà MK ⊥ BC tại E
⇒ BC là đường trung trực của MK
⇒ \(\widehat{BKM}=\widehat{BMK}\) và \(\widehat{CKM}=\widehat{CMK}\)
• Tương tự, ta cũng có AB là đường trung trực của IM
⇒ \(\widehat{BIA}=\widehat{BMA}\)
• Xét tứ giác BICK có:
\(\widehat{BIC}+\widehat{BKC}=\widehat{BMA}+\widehat{BKM}+\widehat{CKM}=\widehat{BMA}+\widehat{BMK}+\widehat{CMK}=180^0\)
⇒ BICK nội tiếp
• Gọi (O') là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BICK
⇒ O' thuộc đường trung trực của BC
⇒ O'B nhỏ nhất khi O' là trung điểm của BC
mà O'B = O'C = O'K
⇒ ΔKBC vuông tại K
⇒ \(\widehat{BKC}=\widehat{BMC}=90^0\)
⇒ \(M\equiv A\)
Suy ra đường tròn ngoại tiếp ΔBIK có bán kính R nhỏ nhất khi M trùng A.
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Lấy M trên cung nhỏ AC (M khác A, khác C). Dây BM cắt AC tại I. Chứng minh AM2 + MI.MC=AI.AC
cho tam giác ABC nhọn trực tâm H.Từ A vẽ tiếp tuyến AM,AN với (O) đường kính BC.Chứng minh M,H,N thẳng hàng