Góc với đường tròn

Akai Haruma
Thiếu tướng -
2 tháng 4 2018 lúc 23:45

Xin lỗi bạn vì bây giờ mình mới onl để trả lời được .

Lời giải:

Góc với đường tròn

Bài này mấu chốt là việc chỉ ra $D,F,B$ thẳng hàng.

Theo tính chất góc nội tiếp chắn đường kính suy ra \(\widehat{ANB}=90^0\) hay \(AN\perp EB\)

Xét tam giác $EAB$ có \(AN\perp EB, EC\perp AB\) và \(AN\cap EC=F\) nên $F$ là trực tâm của tam giác $EAB$

Do đó: \(BF\perp EA\)

Mà \(BD\perp EA\) do \(\widehat{ADB}=90^0\) (góc nội tiếp chắn đường kính)

\(\Rightarrow BF\parallel BD\Rightarrow B,D,F\) thẳng hàng.

\(\Rightarrow \widehat{FDA}=90^0\)

Xét tứ giác $FDAC$ có \(\widehat{FDA}+\widehat{FCA}=90^0+90^0=180^0\) nên là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow \widehat{DCF}=\widehat{DAF}=\widehat{DAN}(1)\)

Mặt khác:

Tổng hai góc đối \(\widehat{FCB}+\widehat{FNB}=90^0+90^0=180^0\) nên tứ giác $FNBC$ nội tiếp

\(\Rightarrow \widehat{NCF}=\widehat{NBF}=\widehat{NBD}(2)\)

Từ \((1); (2)\) kết hợp với \(\widehat{DAN}=\widehat{NBD}\) (hai góc nội tiếp chắn cung DN) suy ra \(\widehat{DCF}=\widehat{NCF}\), hay $CF$ là tia phân giác của góc \(\widehat{DCN}\).

Ta có đpcm.

Bình luận (1)
Mai Mai
2 tháng 4 2018 lúc 11:49
Bình luận (0)
Phương Ann
24 tháng 2 2018 lúc 16:21

Góc với đường tròn

Câu a:

Xét tứ giác ABCN có: \(\widehat{BAC}=\widehat{CNB}=90^0\)

⇒ ABCN nội tiếp

Câu b:

\(M,C,D,N\in\left(O\right)\)

⇒ MCDN nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{DCM}+\widehat{DNM}=180^0\)

\(\widehat{DNM}+\widehat{BNA}=180^0\left(\text{2 góc kề bù}\right)\)

\(\widehat{DCM}=\widehat{BNA}\)

\(\widehat{ACB}=\widehat{BNA}\) (ABCN nội tiếp)

\(\widehat{DCM}=\widehat{ACB}\)

⇒ CA là tia phân giác của \(\widehat{BCD}\)

Câu c:

Vì ABCN nội tiếp nên \(\widehat{ABC}+\widehat{ANC}=180^0\)

\(\widehat{DNC}+\widehat{ANC}=180^0\left(\text{2 góc kề bù}\right)\)

\(\widehat{ABC}=\widehat{DNC}\)

\(\widehat{DEC}=\widehat{DNC}\left(\text{cùng chắn }\stackrel\frown{DC}\text{ của }\left(O\right)\right)\)

\(\widehat{ABC}=\widehat{DEC}\) tại vị trí đồng vị

⇒ AB // DE

⇒ ABED là hình thang

Câu d:

• Theo gt, ta có: M đx K qua E

mà MK ⊥ BC tại E

⇒ BC là đường trung trực của MK

\(\widehat{BKM}=\widehat{BMK}\)\(\widehat{CKM}=\widehat{CMK}\)

• Tương tự, ta cũng có AB là đường trung trực của IM

\(\widehat{BIA}=\widehat{BMA}\)

• Xét tứ giác BICK có:

\(\widehat{BIC}+\widehat{BKC}=\widehat{BMA}+\widehat{BKM}+\widehat{CKM}=\widehat{BMA}+\widehat{BMK}+\widehat{CMK}=180^0\)

⇒ BICK nội tiếp

• Gọi (O') là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BICK

⇒ O' thuộc đường trung trực của BC

⇒ O'B nhỏ nhất khi O' là trung điểm của BC

mà O'B = O'C = O'K

⇒ ΔKBC vuông tại K

\(\widehat{BKC}=\widehat{BMC}=90^0\)

\(M\equiv A\)

Suy ra đường tròn ngoại tiếp ΔBIK có bán kính R nhỏ nhất khi M trùng A.

Bình luận (0)
An Nguyễn Thiện
5 tháng 2 2018 lúc 22:04

Góc với đường tròn

Bình luận (0)
Thanh Nhân
30 tháng 10 2017 lúc 21:30

Mấy bạn giải giúp mik nha

Bình luận (0)

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN