Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Lấy điểm C trên OB \(\left(C\ne O;C\ne B\right)\) sao cho đường thẳng (d) đi qua C vuông góc với AB. Đường thẳng (d) cắt nửa đường tròn (O) tại M, lấy điểm \(N\in\stackrel\frown{MB}\) , tia AN cắt (d) tại F, tia BN cắt (d) tại E. Biết AE cắt nửa đường tròn (O) tại D, chứng minh rằng: \(CF\) là tia phân giác của góc \(DCN\).
Xin lỗi bạn vì bây giờ mình mới onl để trả lời được .
Lời giải:
Bài này mấu chốt là việc chỉ ra $D,F,B$ thẳng hàng.
Theo tính chất góc nội tiếp chắn đường kính suy ra \(\widehat{ANB}=90^0\) hay \(AN\perp EB\)
Xét tam giác $EAB$ có \(AN\perp EB, EC\perp AB\) và \(AN\cap EC=F\) nên $F$ là trực tâm của tam giác $EAB$
Do đó: \(BF\perp EA\)
Mà \(BD\perp EA\) do \(\widehat{ADB}=90^0\) (góc nội tiếp chắn đường kính)
\(\Rightarrow BF\parallel BD\Rightarrow B,D,F\) thẳng hàng.
\(\Rightarrow \widehat{FDA}=90^0\)
Xét tứ giác $FDAC$ có \(\widehat{FDA}+\widehat{FCA}=90^0+90^0=180^0\) nên là tứ giác nội tiếp
\(\Rightarrow \widehat{DCF}=\widehat{DAF}=\widehat{DAN}(1)\)
Mặt khác:
Tổng hai góc đối \(\widehat{FCB}+\widehat{FNB}=90^0+90^0=180^0\) nên tứ giác $FNBC$ nội tiếp
\(\Rightarrow \widehat{NCF}=\widehat{NBF}=\widehat{NBD}(2)\)
Từ \((1); (2)\) kết hợp với \(\widehat{DAN}=\widehat{NBD}\) (hai góc nội tiếp chắn cung DN) suy ra \(\widehat{DCF}=\widehat{NCF}\), hay $CF$ là tia phân giác của góc \(\widehat{DCN}\).
Ta có đpcm.
@Nguyễn Thanh Hằng , @Aki Tsuki, @Akai Haruma, @Nhã Doanh, @Nguyễn Huy Thắng, @Neet, @Ngô Thanh Sang giúp với!!!!!!!!!!!!
