Bài 4: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

1. \(\hat{B}=90^o-\hat{C}=90^o-40^o=50^o\)

2. \(AB=ACtanC=12\cdot tan40^o\approx10\)

3. \(BC^2=AB^2+AC^2\left(Pythagoras\right)\)

\(\Leftrightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}\approx\sqrt{10^2+12^2}=2\sqrt{61}\)

Để tính được các giá trị B, AB và BC trong tam giác ABC, chúng ta có thể sử dụng các quy tắc của tam giác vuông và tam giác đồng dạng.

Vì A = 90 độ, ta biết đây là một tam giác vuông tại A. Theo định lý Pythagoras, ta có:

AB^2 + BC^2 = AC^2

Thay vào giá trị đã cho, ta có:

AB^2 + BC^2 = 12^2
AB^2 + BC^2 = 144

Chúng ta cũng biết rằng tổng các góc trong một tam giác bằng 180 độ. Vì A = 90 độ và C = 40 độ, ta có:

B = 180 - A - C
B = 180 - 90 - 40
B = 50 độ

Vậy kết quả là:
B = 50 độ
AB = √(144 - BC^2)
BC = √(144 - AB^2)

Tuy nhiên, để tính chính xác giá trị của AB và BC, chúng ta cần biết giá trị cụ thể của AB hoặc BC.

a) Ta có:

\(\widehat{C}=90^0-\widehat{A}=90^0-58^0=32^0\)

\(sinB=\dfrac{AC}{BC}\)

\(\Rightarrow AC=BC.sinB=72.sin58^0\approx61,1\left(cm\right)\)

\(sinC=\dfrac{AB}{BC}\)

\(\Rightarrow AB=BC.sinC=72.sin32^0\approx38,2\left(cm\right)\)

b) Ta có:

\(\widehat{C}=90^0-\widehat{B}=90^0-48^0=42^0\)

\(sinB=\dfrac{AC}{BC}\)

\(\Rightarrow BC=\dfrac{AC}{sinB}=\dfrac{20}{sin48^0}=\approx26,9\left(cm\right)\)

\(sinC=\dfrac{AB}{BC}\)

\(\Rightarrow AB=BC.sinC=26,9.sin42^0\approx18\left(cm\right)\)

c) Ta có:

\(\widehat{B}=90^0-\widehat{C}=90^0-30^0=60^0\)

\(sinB=\dfrac{AC}{BC}\)

\(\Rightarrow BC=\dfrac{AC}{sinB}=\dfrac{15}{sin60^0}=10\sqrt{3}\left(cm\right)\)

\(sinC=\dfrac{AB}{BC}\)

\(\Rightarrow AB=BC.sinC=10\sqrt{3}.sin30^0=5\sqrt{3}\left(cm\right)\)

d) Ta có:

\(\widehat{B}=90^0-\widehat{C}=90^0-18^0=72^0\)

\(sinB=\dfrac{AC}{BC}\)

\(\Rightarrow BC=\dfrac{AC}{sinB}=\dfrac{21}{sin72^0}\approx22,1\left(cm\right)\)

\(sinC=\dfrac{AB}{BC}\)

\(\Rightarrow AB=BC.sinC=22,1.sin18^0\approx6,8\left(cm\right)\)

a: \(MP=\sqrt{5^2-3^2}=4\left(cm\right)\)

\(QM=\dfrac{3\cdot4}{5}=2.4\left(cm\right)\)

\(QN=\dfrac{3^2}{5}=1.8\left(cm\right)\)

QP=5-1,8=3,2(cm)

b: sinP=cosN=MN/NP=3/5

cos P=sin N=4/5

tan P=cot N=3/4

cot P=tan N=4/3

Xét ΔBDA có \(cosB=\dfrac{BD^2+BA^2-AD^2}{2\cdot BD\cdot BA}\)

=>\(20^2+60^2-AD^2=2\cdot20\cdot60\cdot cos60=40\cdot60\cdot\dfrac{1}{2}=20\cdot60=1200\)

=>\(AD=\sqrt{20^2+60^2-1200}=20\sqrt{7}\left(cm\right)\)

Xét ΔBAD có \(\dfrac{BD}{sinBAD}=\dfrac{AD}{sinB}\)

=>\(\dfrac{20}{sinBAD}=\dfrac{20\sqrt{7}}{sin60}=\dfrac{40\sqrt{21}}{3}\)

=>\(\dfrac{1}{sinBAD}=\dfrac{2\sqrt{21}}{3}\)

=>\(sinBAD=\dfrac{3}{2\sqrt{21}}\)

=>góc BAD=19 độ

góc AED=180-2*19=142 độ

Xét ΔAED có AD/sinAED=DE/sinEAD

=>\(\dfrac{DE}{\dfrac{3}{2\sqrt{21}}}=\dfrac{20\sqrt{7}}{sin142}\)

=>\(DE\simeq28,13\left(cm\right)\)

Các tỉ số lượng giác của góc B là:

\(a,cosC=\dfrac{5}{13}\\ Ta,có:cos^2C+sin^2C=1\\ \Rightarrow sinC=\sqrt{1-\left(\dfrac{5}{13}\right)^2}=\dfrac{12}{13}\\ cosB+sinC=1\\ \Leftrightarrow cosB+\dfrac{12}{13}=1\\ \Rightarrow cosB=\dfrac{1}{13}\\ tanC=\dfrac{sinC}{cosC}=\dfrac{\dfrac{12}{13}}{\dfrac{5}{13}}=\dfrac{12}{5}\)

\(b,tanB=\dfrac{1}{5}\Rightarrow\dfrac{sinB}{cosB}=\dfrac{1}{5}\Rightarrow cosB=5sinB\\ E=\dfrac{sinB-3cosB}{2sinB+3cosB}=\dfrac{sinB-3.5.sinB}{2sinB+3.5.sinB}=\dfrac{-14sinB}{17sinB}=-\dfrac{14}{17}\)

a: BC=20cm

Xét ΔABC vuông tại A có sin C=AB/BC=3/5

nên góc C=37 độ

=>góc B=53 độ

b: \(HB=\dfrac{12^2}{20}=\dfrac{144}{20}=7.2\left(cm\right)\)

HC=20-7,2=12,8(Cm)

Xét ΔABC có AD là phân giác

nên BD/AB=CD/AC

=>BD/3=CD/4=(BD+CD)/(3+4)=20/7

=>BD=60/7cm; CD=80/7cm