Bài 4: Hàm số mũ. Hàm số logarit

Lời giải:

Từ điều kiện đb \(\ln x+\ln y\geq \ln (x^2+y)\Leftrightarrow \ln (xy)\geq \ln (x^2+y)\)

\(\Leftrightarrow xy\geq x^2+y\Leftrightarrow y(x-1)\geq x^2\)

\(\bullet\)Nếu \(x\geq 1\Rightarrow y\geq \frac{x^2}{x-1}\)

Khi đó \(P=x+y\geq x+\frac{x^2}{x-1}=2x+1+\frac{1}{x-1}=2(x-1)+\frac{1}{x-1}+3\)

Áp dụng định lý AM-GM:

\(P\geq 2\sqrt{2(x-1).\frac{1}{x-1}}+3=2\sqrt{2}+3\) hay \(P_{\min}=2\sqrt{2}+3\)

\(\bullet \)Nếu \(x<1\Rightarrow \ln x<0\) kéo theo \(\ln x+\ln y<\ln y\)

Mà \(\ln(x^2+y)\geq \ln (0+y)=\ln y\) nên \(\ln x+\ln y<\ln (x^2+y)\) (không thỏa mãn đkđb) (loại)

Vậy \(P_{\min}=2\sqrt{2}+3\)

Đáp án B

Lời giải:

Để hàm số xác định với mọi \(x\in\mathbb{R}\) thì \(x^2-2(m+1)x+9>0\) với mọi số thực $x$

Áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc 2, để thu được điều trên cần có:

\(\Delta'=(m+1)^2-9<0\)

\(\Leftrightarrow (m+4)(m-2)<0\Leftrightarrow -4< m<2\)

Lời giải:

Để hàm $y$ luôn có cực trị thì \(y'=x^2-2mx-(2m+3)=0\) phải luôn có hai nghiệm phân biệt.

\(\Leftrightarrow \Delta'=m^2+2m+3>0\Leftrightarrow (m+1)^2+2>0\)

Điều này luôn đúng với mọi số thực $m$ nên ta có đpcm.

Lời giải:

1.

Để ĐTHS có cực đại và cực tiểu thì \(y'=3x^2+2x+m+2=0\) có hai nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow \Delta'=1-3(m+2)>0\Leftrightarrow m<\frac{-5}{3}\)

2.

ĐTHS có hai cực trị nằm về hai phía trục tung nghĩa là PT \(y'=3x^2+2x+m+2=0\) có hai nghiệm $x_1,x_2$ trái dấu.

Theo định lý Viete thì \(x_1x_2=\frac{m+2}{3}<0\Leftrightarrow m<-2\)

3. Áp dụng định lý Viete:

Cực trị với hoành độ âm thì: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{-2}{3}<0\\ x_1x_2=\frac{m+2}{3}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m>-2\Rightarrow -2< m<\frac{-5}{3}\)

4. Để ĐTHS có cực tiểu tại $x=2$ thì PT \(y'=3x^2+2x+m+2=0\) nhận $x=2$ là nghiệm \(\Leftrightarrow m=-18\)

Thử lại bằng bảng biến thiên ta thấy đúng.

Lời giải:

Ta có \(y'=-\frac{x^2-2x+4-m}{(1-x)^2}\)

a) Đồ thị có cực đại và cực tiểu khi \(x^2-2x+4-m=0\) có hai nghiệm phân biệt khác $1$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta'=1-(4-m)>0\\ 1-2+4-m=3-m\neq 0\end{matrix}\right.\Rightarrow m>3\)

b) Đạt cực trị tại $x=2$ khi \(x^2-2x+4-m=0\) nhận $x=2$ là nghiệm

\(\Rightarrow m=4\)

c) Đạt cực trị tại $x=-1$ khi \(x^2-2x+4-m=0\) nhận $x=-1$ là nghiệm suy ra $m=7$

Lập bảng biến thiên để thử lại ta có với $m=7$ thì $x=-1$ đúng là điểm cực tiểu.

Lời giải:

a)

Để hàm không có cực trị thì \(y'=3x^2-6x+3m=0\) không có nghiệm hoặc có nghiệm kép

\(\Leftrightarrow \Delta'=9-9m\leq 0\Leftrightarrow m\geq 1\)

b)

Để ĐTHS có điểm cực đại và cực tiểu thì

\(y'=3x^2-6x+3m=0\) phải có hai nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow \Delta'=9-9m>0\Leftrightarrow m<1\)