Bài 4: Đường trung bình của tam giác, hình thang

Từ D vẽ đường // vs AC cắt BC tại I

ta có :tg ABC CÂN TẠI A => \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(1)

DF//AC=>DF//EC=> \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ACB}=\widehat{DIB}\left(2\right)\\\widehat{DIF}=\widehat{FEC}\end{matrix}\right.\)

TỪ (1) (2) => \(\widehat{ABC}=\widehat{DIB}\)

=>\(\Delta DIB\) cân tại D

=> BD=DI

Mà BD=CE(GT)=>CE=DI

Xét \(\Delta IDF\) và \(\Delta CEF\),có

\(\widehat{DFI}=\widehat{EFC}\)( Hai góc đối đỉnh)

\(\widehat{IDF}=\widehat{FEC}\left(CMT\right)\)

CE=DI(CMT

=> \(\Delta DIF=\Delta CEF\)(G-C-G)

=> FD=FE(Hai góc tương ứng)

=> F là trung điểm của DE (đpcm)

(

Xét ΔABD có P,N lần lượt là trung điểm của BA và BD

nên PN là đường trung bình

=>PN//AD và PN=AD/2(1)

Xét ΔACD có M,Q lần lượt là trung điểm của CA và CD

nên MQ là đường trung bình

=>MQ//AD và MQ=AD/2(2)

Từ (1) và (2) suy ra PN//MQ và PN=MQ

=>MPNQ là hình bình hành

Xét ΔABC có P,M lần lượt là trung điểm của AB và AC

nên PM là đường trung bình

=>PM=BC/2=AD/2=PN

=>MPNQ là hình thou

=>PQ là trung trực của MN

a: \(GI=\dfrac{1}{2}GM=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}GB=\dfrac{1}{4}GB\)

\(GK=\dfrac{1}{2}GN=\dfrac{1}{4}GC\)

=>GI/GB=GK/GC

=>IK//BC

Xét ΔABC có E,D lần lượt la trung điểm của AB và AC

nên ED là đường trung bình

=>ED//BC và ED=BC/2

=>IK//ED

Xét ΔABD và ΔACE có

AB=AC

góc BAD chung

AD=AE
DO đó: ΔABD=ΔACE

Suy ra: BD=CE

Xét ΔABC có 

BD,CE là các đường trung tuyến

BD cắt CE tại G

Do đó:G là trọng tâm

=>BG=2/3BD; CG=2/3CE
=>BG=CG

=>GI=GK

BG+GD=BD

CG+GE=CE
mà BD=CE; BG=CG

nên GD=GE

=>KE=DI

=>EDKI là hình thang cân

b: Xét ΔGBC có IK//BC

nên IK/BC=GI/GB=1/4

=>IK=2,5cm

=>DE+IK=7,5cm

a: Xét ΔABC có

E,D lần lượt là trung điểm của AB và AC

nên  ED là đường trung bình

=>ED//BC va ED=1/2BC(5)

Xét ΔGBC có

I,K lần lượt là trung điểm của GB và GC

nên IK là đường trung bình

=>IK//BC và IK=BC/2(6)

Từ(5) và (6) suy ra DE//IK và DE=IK

b: Xét ΔBED có MI//ED

nên MI/ED=BI/BD=1/3(1)

Xét ΔCED có KN//ED

nên KN/ED=CK/CE=1/3(2)

Từ (1) và (2) suy ra MI=KN

Xét ΔBPG có MI//PG

nên MI/PG=BI/BG=1/2(3)

Xét ΔCGQ có KN//QG

nên KN/GQ=CN/CQ=1/2(4)

Từ (3)và (4) suy ra PG=GQ

a: Xét ΔEBC và ΔDCB có

EB=DC
góc EBC=góc DCB

BC chung

Do đó: ΔEBC=ΔDCB

Suy ra: góc GBC=góc GCB

hay ΔGBC cân tại G

GI=GM/2=GB/4

GK=GN/2=GC/4

mà GB=GC

nên GI=GK

Vì GB=GC và DB=EC
nên GE=GD

=>EK=ID

Xét ΔGBC có GI/GB=GK/GC

nên IK//BC(1)

Xét ΔABC có AE/AB=AD/AC

nên ED//BC và ED=BC/2(2)

Từ (1) và (2) suyb ra IK //DE

=>EDKI là hình thang

ma EK=DI

nên EDKI là hình thang cân

b: DE+IK

\(=\dfrac{1}{2}BC+\dfrac{1}{2}MN=\dfrac{1}{2}BC+\dfrac{1}{4}BC=\dfrac{3}{4}BC\)