Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác

Lời giải:

a)

Sử dụng công thức về tia phân giác ta có:

\(\frac{DI}{AI}=\frac{BD}{AB}\Rightarrow \frac{DI}{DA}=\frac{BD}{AB+BD}(1)\)

\(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \frac{BD}{BC}=\frac{AB}{AB+AC}\Rightarrow BD=\frac{AB.BC}{AB+AC}(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{DI}{DA}=\frac{\frac{AB.BC}{AB+AC}}{AB+\frac{AB.BC}{AB+AC}}=\frac{AB.BC}{AB(AB+BC+AC)}=\frac{BC}{AB+BC+AC}=\frac{a}{a+b+c}\)

Ta có đpcm.

b)

Sử dụng kết quả phần a:

\(\frac{DI}{DA}=\frac{a}{a+b+c}\)

Bằng cách chứng minh hoàn toàn tương tự ta cũng có:

\(\frac{EI}{EB}=\frac{b}{a+b+c}; \frac{FI}{FC}=\frac{c}{a+b+c}\)

Do đó:

\(\frac{DI}{DA}+\frac{EI}{EB}+\frac{FI}{FC}=\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1\)

Ta có đpcm.

Hình vẽ:

dung de k ban , neu BC=10 thi AB=AC=BC chu => tam giac ABC deu=>sai de

Vi BD la phan giac cua goc B

=> \(\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AD}{CD}=\dfrac{3}{2}\)

=> AD=3/2 . CD

Ma AD+CD=AC=15

=> 3/2.CD+CD=15 => CD=6 => AD=9

b)

AD , BE , CF là các phân giác của tam giác ABC nên ta có :

FA/FB = CA/CB

DB/DC = AB/AC

EC/EA = BC/BA

=> FA/FB . DB/DC . EC/EA = CA.AB.BC/CB.AC.BA = 1

=> ĐPCM

hu hu cần lắm gp

Xét hình thang ABCD có EF//AB//CD

nên AE/AD=BF/BC(1)

Xét ΔADC có OE//DC

nên OE/DC=AE/AD(2)

Xét ΔBDC có OF//DC
nên OF/DC=BF/BC(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra OE=OF

a)Áp dụng tính chất đường phân giác:

=>\(\dfrac{NH}{HP}=\dfrac{MN}{MP}\\ =>\dfrac{3}{x}=\dfrac{6}{12}\\ =>x=3\cdot12:6=6\)

Lại có:NH+HP=NP

=>3+6=y(do x=6)

=>9=y

Vậy x=6,y=9

b)

*Tình HQ:

Vì HQ//MN, áp dụng hệ quả Ta lét:

=>\(\dfrac{HP}{NP}=\dfrac{HQ}{MN}\\ =>\dfrac{6}{9}=\dfrac{HQ}{6}\\ =>HQ=6.6:9=4\)

*Tính QM:

Vì HQ//MN, áp dụng định lý Ta lét:

=>\(\dfrac{PQ}{QM}=\dfrac{PH}{HN}\)

=>\(\dfrac{PQ+QM}{QM}=\dfrac{PH+HN}{HN}\)(Ta có tỉ lệ thức:\(\dfrac{A}{B}=\dfrac{C}{D}=>\dfrac{A+B}{B}=\dfrac{C+D}{D}\))

=>\(\dfrac{PM}{QM}=\dfrac{PN}{HN}\)

=>\(\dfrac{12}{QM}=\dfrac{9}{3}\)=> QM=12.3:9=4(cm).

*tính QP:

QM+QP=MP

<=>4+QP=12

=>QP=12-4=8(cm)

Vậy HQ=4cm

QM=4cm

QP=8cm

Chúc bạn học và làm bài kiểm tra tốt! Đạt điểm 10.

a) Tam giác MIB cân tại M vì góc MIB= góc MBI

Nên MB=MI=12cm

=> MI//AC, ta có:

\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{IM}{BC}=\dfrac{12}{30}=\dfrac{3}{5}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AB-12}{AB}=\dfrac{3}{5}\Rightarrow AB=30\left(cm\right)\)

BD là phân giác ngoài của góc ABC, ta có:
\(\dfrac{AD}{CD}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{30}{20}=\dfrac{3}{2}\)

Do đó BC // DN, ta lại có:

\(\dfrac{AN}{BN}=\dfrac{AD}{CN}=\dfrac{3}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{BN}=\dfrac{1}{2};\dfrac{30}{BN}=\dfrac{1}{2}\)

Do đó BN=60(cm). Từ đó ta có: MN=72(cm)

b) Ta có EF//AB nên:

\(\dfrac{IA}{IC}=\dfrac{AB}{EC}\left(1\right)\)và\(\dfrac{AD}{CD}=\dfrac{AB}{CF}\left(2\right)\)

Do đó BI và BD là phân giác trong và ngoài của góc B trong tam giác ABC, ta có: \(\dfrac{IA}{IC}=\dfrac{DA}{DC}\left(3\right)\)

Từ (1), (2) và (3) ta có: \(\dfrac{AB}{EC}=\dfrac{AB}{CF}\)do đó EC=EF

Từ \(\dfrac{IA}{IC}=\dfrac{BI}{IE}\Rightarrow AI.IE=BI.IC\)