Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

 \(tana.cota=1\Rightarrow tana=\dfrac{1}{cota}=\dfrac{1}{\dfrac{40}{9}}=\dfrac{9}{40}\)

\(1+tan^2a=\dfrac{1}{cos^2a}=1+\left(\dfrac{9}{40}\right)^2=\dfrac{1681}{1600}\\ \Rightarrow cos^2a=\dfrac{1600}{1681}\\ \Rightarrow cosa=\dfrac{40}{41}\)

\(1+cot^2a=\dfrac{1}{sin^2a}=1+\left(\dfrac{40}{9}\right)^2=\dfrac{1681}{81}\\ \Rightarrow sin^2a=\dfrac{81}{1681}\\ \Rightarrow sina=\dfrac{9}{41}\)

Xét  \(\Delta HAB\) vuông tại H \(\left(AH\perp BC\right)\),ta có:

\(AB^2=AH^2+BH^2\left(ĐLPytago\right)\\ \Rightarrow BH^2=AB^2-AH^2\\ \Rightarrow BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{7^2-2^2}=3\sqrt{5}\left(cm\right)\)

Xét  \(\Delta ABC\) vuông tại A và có AH là đường cao \(\left(AH\perp BC\right)\),ta có:

\(AH^2=BH.CH\left(HTL\right)\\ \Rightarrow CH=\dfrac{AH^2}{BH}=\dfrac{2^2}{3\sqrt{5}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{15}\left(cm\right)\)

a. Xét tam giác AHB vuông tại H có HM là đường cao: AM . AB = \(AH^2\) (1)

Xét tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao: BH . CH = \(AH^2\)  (2)

Từ (1) và (2) ⇒ AM . AB = BH . CH (đpcm)

b. Xét tam giác AHC vuông tại H có HK là đường cao: AK . AC = \(AH^2\) (3)

Xét tứ giác AMHK có :

\(\widehat{AMH}=\widehat{MAK}=\widehat{AKH}=90^0\)

→ Tứ giác AMHK là hcn 

⇒ MK = AH

⇒\(MK^2=AH^2\) (4)

Từ (3) và (4) → \(MK^2=AK.AC\) (đpcm)

c. Từ (1) và (3) → AM. AC = AK . AC

→\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AK}{AB}\)

mà \(\widehat{BAC}\) là góc chung

⇒ △ AMK \(\sim\) △ACB ( c.g.c)

d. Xét tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao: 

\(AB^2=BH.BC\)

\(AC^2=CH.BC\)

⇒\(\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{BH.BC}{CH.BC}=\dfrac{BH}{CH}\) (đpcm)

e. hic phần này mik k lm đc 

Lời giải:

Áp dụng định lý Pitago:

$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{18^2-14,4^2}=10,8$ (cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

$AH^2=BH.CH$
$14,4^2=10,8.CH\Rightarrow CH=19,2$ (cm)

$AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{14,4^2+19,2^2}=24$ (cm)

Hình vẽ:

c.

K thuộc AD nên BC song song DK

Áp dụng định lý Talet: \(\dfrac{BN}{KN}=\dfrac{CN}{DN}=1\Rightarrow BN=KN\) hay N là trung điểm BK

\(\Rightarrow\) BCKD là hình bình hành (tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Theo câu b, E, M, N thẳng hàng nên Q nằm trên MN (1)

Mà MN là đường trung bình của hình thang ABCD

\(\Rightarrow MN||AD\Rightarrow MN\perp AB\) (2)

Mà M là trung điểm AB (3)

(2);(3) \(\Rightarrow\) MN là trung trực AB (4)

(1);(4) \(\Rightarrow QB=QA\)

d.

Hạ CH vuông góc AD

Trong tam giác vuông CHK: \(cosKAC=\dfrac{AH}{AC}\Rightarrow AH=AC.cos\widehat{KAC}\)

Pitago: \(CH^2+AH^2=AC^2\)

Do đó: \(CK^2=CH^2+HK^2=CH^2+\left(AK-AH\right)^2=CH^2+AH^2+AK^2-2AK.AH\)

\(=AC^2+AK^2-2AK.AC.cos\widehat{KAC}\) (đpcm)

a: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:

\(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:

\(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)