Bài 2: Liên hệ giữa cung và dây

Xét ΔABC nội tiếp đường tròn tâm O, ta có:

AB là đường kính

<=> ΔABC vuông tại C

Xét ΔSAB vuông tại A (tiếp tuyến), ta có:

AC ⊥ SB (chứng minh trên)

<=> AC là đường cao ΔSAB

Áp dụng hệ thức lượng vào ΔSAB, đường cao AC,ta có:

SA² = SB.SC (dpcm)

a) Ta có: \(\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{3}{4}x+1=0\)(1)

\(\Delta=\dfrac{9}{16}-4\cdot\dfrac{1}{2}\cdot1=\dfrac{9}{16}-2=-\dfrac{23}{16}\)

Vì \(\Delta< 0\) nên phương trình (1) vô nghiệm

Vậy: \(S=\varnothing\)

b) Ta có: \(x^2-\left(2+\sqrt{5}\right)x+2\sqrt{5}=0\)(2)

\(\Delta=\left(2+\sqrt{5}\right)^2-4\cdot1\cdot2\sqrt{5}=9+4\sqrt{5}-8\sqrt{5}=9-4\sqrt{5}>0\)

Vì \(\Delta>0\) nên phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{2+\sqrt{5}-\sqrt{9-4\sqrt{5}}}{2\cdot1}=\dfrac{2+\sqrt{5}-\sqrt{5}+2}{2\cdot1}=\dfrac{4}{2}=2\\x_2=\dfrac{2+\sqrt{5}+\sqrt{9-4\sqrt{5}}}{2\cdot1}=\dfrac{2+\sqrt{5}+\sqrt{5}-2}{2\cdot1}=\dfrac{2\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(S=\left\{2;\sqrt{5}\right\}\)

a)Có: AB//CE\(\Rightarrow\stackrel\frown{AE}=\stackrel\frown{BC}\Rightarrow AE=BC\)

Có: \(\Delta OCD\) cân tại O(OC=OD=R)\(\Rightarrow\)Đường cao \(\Delta OCD\) đồng thời là đường trung tuyến.

\(\Rightarrow\Delta BCD\) cân tại B

\(\Rightarrow BC=BD\)

Vậy AE=BC=BD.

b)Có CE//AB\(\Rightarrow CE\perp CD\)

\(\Rightarrow\widehat{ECD}=90^o\Rightarrow DE\) là đường kính.

\(\Rightarrow\) E,O,D thẳng hàng.

c)Có \(\widehat{AEB}=\widehat{EBD}=\widehat{BDA}=90^o\)(chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow\) ADBE là hình chữ nhật.

Bài 3 góc ABC=40⁰ 

Bài 4 C sai

Lời giải:$I$ chính giữa cung $AB$ nên $IA=IB$

Lại có $OA=OB=R$

Do đó $OI$ là đường trung trực của $AB$

$\Rightarrow IO\perp AB$ tại $H$ hay $IH\perp AB$

Tam giác $IAB$ cân tại $I$ nên đường cao $IH$ đồng thời là đường trung tuyến $\Rightarrow H$ là trung điểm $AB$ 

Do đó $AH=HB$ (đpcm)

Hình vẽ: