§1. Đại cương về phương trình

Ta có : \(\begin{cases}x^2-4y=2\\3x+3y=1\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}3x^2-12y=6\left(1\right)\\12x+12y=4\left(2\right)\end{cases}\)

Cộng (1) và (2) theo vế được \(3x^2+12x=10\Leftrightarrow3x^2+12x-10=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=\frac{-6+\sqrt{66}}{3}\\x=\frac{-6-\sqrt{66}}{3}\end{array}\right.\)

Từ đó thay x vào một trong hai pt ban đầu để tìm y :)

a: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}35x-28y=21\\35x-45y=40\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}17y=-19\\5x-4y=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-\dfrac{19}{17}\\x=-\dfrac{5}{17}\end{matrix}\right.\)

b: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}-\dfrac{8}{y}=18\\\dfrac{10}{x}+\dfrac{8}{y}=102\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{11}{x}=120\\\dfrac{1}{x}-\dfrac{8}{y}=18\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{11}{120}\\y=-\dfrac{44}{39}\end{matrix}\right.\)

c: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{30}{x-1}+\dfrac{3}{y+2}=3\\\dfrac{25}{x-1}+\dfrac{3}{y+2}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{5}{x-1}=1\\\dfrac{10}{y-1}+\dfrac{1}{y+2}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1=5\\\dfrac{1}{y+2}+2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=6\\y=-3\end{matrix}\right.\)

d: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{135}{2x-y}+\dfrac{160}{x+3y}=35\\\dfrac{135}{2x-y}-\dfrac{144}{x+3y}=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+3y=8\\2x-y=9\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+6y=16\\2x-y=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=1\\x=5\end{matrix}\right.\)

Xét pt hai : \(x^3+y^3=x^2+y^2\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=x^2+y^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-xy+y^2=x^2+y^2\Leftrightarrow xy=0\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=0\\y=0\end{array}\right.\)

Nếu x = 0 thì y = 1

Nếu y = 0 thì x = 1

Ta có : \(\begin{cases}x+y=5\\\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x+y=5\\x^2+y^2=xy\end{cases}\)

Từ \(x+y=5\Rightarrow x^2+y^2=5^2-2xy\) thay vào pt còn lại : 

\(25=3xy\Rightarrow xy=\frac{25}{3}\)

Suy ra hệ mới : \(\begin{cases}x+y=5\\xy=\frac{25}{3}\end{cases}\)

Ta đã đưa về hệ pt đối xứng loại I , bạn tự giải nhé :)

đây là hệ pt đối xứng loại 2 chỉ cần trừ vế vs vế là được

\(hpt< =>\begin{cases}2x^2-2y^2+y-x=3y^2-3x^2-2+2\\2x^2+y=3y^2-2\end{cases}\)

<=> \(\begin{cases}5\left(x+y\right)\left(x-y\right)-\left(x-y\right)=0\\2x^2+y=3y^2-2\end{cases}\)

<=> \(\begin{cases}\left(x-y\right)\left(5x+5y-1\right)=0\\2x^2+y=3y^2-2\end{cases}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}\left[\begin{array}{nghiempt}x=y\\x=\frac{1-5y}{5}\end{array}\right.\\2x^2+y=3y^2-2\end{array}\right.\)đến đây thế x=y vào pt dưới là được

Đk: \(x\ge-5\)

2 vế dương bình phương lên

\(2^2\sqrt{\left(x+5\right)^2}=\left(x+2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow4\left(x+5\right)=x^2+4x+4\)

\(\Leftrightarrow4x+20=x^2+4x+4\)

\(\Leftrightarrow16-x^2=0\)

\(\Leftrightarrow x^2=16\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=4\left(tm\right)\\x=-4\left(loai\right)\end{array}\right.\)