Question

\(x(x^2+x+1)=4^y-1 \) với x,y nguyên dương

Answer 1

PT <=> \(x^3+x^2+x^2+1=4^y\)

<=> \(\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)=4^y\)

Gọi \(\left(x+1;x^2+1\right)=d\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}x+1⋮d\\x^2+1⋮d\end{matrix}\right.\)

=> 2 \(⋮d\)

=> d\(\in\left\{1;2\right\}\)

TH1: d = 1

=> \(\left[{}\begin{matrix}x+1=1< =>x=0\left(l\right)\\x^2+1=1< =>x=0\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

TH2: d = 2

=> x + 1 và x² + 1 là lũy thừa của 2

Mà \(x^2+1\ge x+1\)

=> \(x^2+1⋮x+1\)

<=> 2 \(⋮x+1\) 

Mà x nguyên dương => x + 1 > 1

=> x + 1 = 2

<=> x = 1

<=> y = 1