Question

x=\(\sqrt{2x\left(x-y\right)+2y-x+2}\)
Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn phương trình trên

 

Answer 1

Lời giải:

Hiển nhiên $x$ là số nguyên không âm. 

$x=\sqrt{2x(x-y)+2y-x+2}$

$\Rightarrow x^2=2x(x-y)+2y-x+2$

$\Leftrightarrow x^2-x(2y+1)+(2y+2)=0(*)$

Coi đây là pt bậc 2 ẩn $x$. Để pt ban đầu có $x,y$ nguyên thì $(*)$ có nghiệm nguyên 

Điều này xảy ra khi $\Delta=(2y+1)^2-4(2y+2)=4y^2-4y-7$ là scp

Đặt $4y^2-4y-7=t^2$ với $t$ tự nhiên 

$\Leftrightarrow (2y-1)^2-8=t^2$

$\Leftrightarrow 8=(2y-1-t)(2y-1+t)$

Đây là dạng pt tích đơn giản nên xét các TH ra ta tìm được $y=2; y=-1$
Thay $y=2; y=-1$ lần lượt lại PT $(*)$ ta tìm được:

$(x,y)=(0,-1); (2;2); (3;2)$

Thử lại vào pt ban đầu ta thấy đều thỏa mãn.