Question

giai giup minh voi a

Xét tính **Đúng/Sai** của các mệnh đề sau.

Sau đó viết mệnh đề phủ định.

1. \(A(n) : \forall n \in \mathbb{N} : n^2 + 1\) không chia hết cho 3.

2. \(B(n) : \forall n \in \mathbb{N} : n^3 + 3n^2 - 4n\) không chia hết cho 6.

3. \(C(x, y) : \exists x, y \in \mathbb{R} : 2x^2 + 4xy + 5y^2 < 0\).

4. \(D(x, y) : \forall x, y \in \mathbb{R} : x(x + 2) + y(y - 4) + 10 > 0\).

5. \(E(x, y) : \forall x, y \in \mathbb{R} : (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y^4\) là số chính phương.

Answer 1

5: \(\left(x+y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\left(x+4y\right)+y^4\)

\(=\left(x^2+5xy+4y^2\right)\left(x^2+5xy+6y^2\right)+y^4\)

\(=\left(x^2+5xy\right)^2+10y^2\left(x^2+5xy\right)+24y^4+y^4\)

\(=\left(x^2+5xy\right)^2+2\cdot\left(x^2+5xy\right)\cdot5y^2+\left(5y^2\right)^2\)

\(=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2\) là số chính phương

=>Mệnh đề này đúng

Mệnh đề phủ định là \(\overline{E}\) : \(\exists x,y\in R:\left(x+y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\left(x+4y\right)+y^4\) không là số chính phương

4: \(x\left(x+2\right)+y\left(y-4\right)+10\)

\(=x^2+2x+1+y^2-4y+4+5\)

\(=\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2+5\ge5>0\forall x,y\)

=>Mệnh đề này đúng

Mệnh đề phủ định là: \(\overline{D}:\) \(\exists x,y\in R:x\left(x+2\right)+y\left(y-4\right)+10\le0\)

3: \(2x^2+4xy+5y^2\)

\(=2x^2+4xy+2y^2+3y^2\)

\(=2\left(x+y\right)^2+3y^2\ge0\forall x,y\)

=>Mệnh đề này sai

Mệnh đề phủ định là: \(\overline{C}:\forall x,y\in R:2x^2+4xy+5y^2\ge0\)

1: TH1: n=3k

\(A=n^2+1=\left(3k\right)^2+1=9k^2+1\) không chia hết cho 3(1)

TH2: n=3k+1

\(A=n^2+1\)

\(=\left(3k+1\right)^2+1\)

\(=9k^2+6k+2=3\left(3k^2+2k\right)+2\) không chia hết cho 3(2)

TH3: n=3k+2

\(A=n^2+1\)

\(=\left(3k+2\right)^2+1\)

\(=9k^2+12k+4+1\)

\(=9k^2+12k+5=9k^2+12k+3+2=3\left(3k^2+4k+1\right)+2\) không chia hết cho 3(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra A không chia hết cho 3

=>Mệnh đề này đúng

Mệnh đề phủ định là: \(\overline{A}:\exists n\in N:n^2+1\vdots3\)

2: \(n^3+3n^2-4n\)

\(=n\left(n^2+3n-4\right)\)

\(=n\left(n+4\right)\left(n-1\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n-2\right)+6n\left(n-1\right)\)

Vì n;n-1;n-2 là ba số nguyên liên tiếp

nên n(n-1)(n-2)⋮3!

=>n(n-1)(n-2)⋮6

mà 6n(n-1)⋮6

nên n(n-1)(n-2)+6n(n-1)⋮6

=>\(n^3+3n^2-4n\) ⋮6

=>Mệnh đề này sai

Mệnh đề phủ định là: \(\overline{B}:\exists n\in N:n^3+3n^2-4n\) ⋮6