Question

\(X=ax+by+cz\)\(;\)\(Y=cx+ay+bz\)\(;\)\(Z=bx+cy+az\)\(;\)

\(A=ax+cy+bz\)\(;\)\(B=bx+ay+cz\)\(;\)\(C=cx+by+az\)

\(thì\)\(\left(X-A\right)\)\(\left(X-B\right)\)\(\left(X-C\right)\)\(=\)\(\left(Y-A\right)\)\(\left(Y-B\right)\)\(\left(Y-C\right)\)\(=\)

\(=\)\(\left(Z-A\right)\)\(\left(Z-B\right)\)\(\left(Z-C\right)\)

Answer 1

Ta có:

\(X-A\)\(=\)\(by+cz-cy-bz=\left(b-c\right)y+\left(c-b\right)z=\left(b-c\right)\left(y-z\right)\)

\(X-B\)\(=\)\(ax+by-bx-ay=\left(a-b\right)x+\left(b-a\right)y=\left(a-b\right)\left(x-y\right)\)

\(X-C\)\(=\)\(ax+cz-cx-az=\left(a-c\right)x+\left(c-a\right)z=\left(a-c\right)\left(x-z\right)\)

\(Y-A\)\(=\)\(cx+ay-ax-cy=\left(c-a\right)x+\left(a-c\right)y=\left(c-a\right)\left(x-y\right)\)

\(Y-B\)\(=\)\(cx+bz-bx-cz=\left(c-b\right)x+\left(b-c\right)z=\left(c-a\right)\left(x-z\right)\)

\(Y-C\)\(=\)\(zy+bz-by-az=\left(a-b\right)y+\left(b-a\right)z=\left(a-b\right)\left(y-z\right)\)

\(Z-A\)\(=\)\(bx+az-ax-bz=\left(b-a\right)x+\left(a-b\right)z=\left(b-a\right)\left(x-z\right)\)

\(Z-B\)\(=\)\(cy+az-ay-cz=\left(c-a\right)y+\left(a-c\right)z=\left(c-a\right)\left(y-z\right)\)

\(Z-C\)\(=\)\(bx+cy-cx-by=\left(b-c\right)x+\left(c-b\right)y=\left(b-c\right)\left(x-y\right)\)

Từ đó có:

\(\left(X-A\right)\left(X-B\right)\left(X-C\right)=\left(b-c\right)\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(y-z\right)\left(x-y\right)\left(x-z\right)\)

\(\left(Y-A\right)\left(Y-B\right)\left(Y-C\right)=\left(c-a\right)\left(c-b\right)\left(a-b\right)\left(x-y\right)\left(x-z\right)\left(y-z\right)\)

\(\left(Z-A\right)\left(Z-B\right)\left(Z-C\right)=\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(b-c\right)\left(x-z\right)\left(y-z\right)\left(x-z\right)\)

Ta thấy , vế phải của ba đẳng thức trên là tích của sáu thừa số . Các thừa số đều có mặt trong các tích nếu ta áp dụng quy tắc đổi dấu

Answer 2

có cần giải ra không

Answer 3

Ta có:

X−A=by+cz−cy−bz=(b−c)y+(c−b)z=(b−c)(y−z)

X−B=ax+by−bx−ay=(a−b)x+(b−a)y=(a−b)(x−y)

X−C=ax+cz−cx−az=(a−c)x+(c−a)z=(a−c)(x−z)

Y−A=cx+ay−ax−cy=(c−a)x+(a−c)y=(c−a)(x−y)

Y−B=cx+bz−bx−cz=(c−b)x+(b−c)z=(c−a)(x−z)

Y−C=zy+bz−by−az=(a−b)y+(b−a)z=(a−b)(y−z)

Z−A=bx+az−ax−bz=(b−a)x+(a−b)z=(b−a)(x−z)

Z−B=cy+az−ay−cz=(c−a)y+(a−c)z=(c−a)(y−z)

Z−C=bx+cy−cx−by=(b−c)x+(c−b)y=(b−c)(x−y)

Từ đó có:

(X−A)(X−B)(X−C)=(b−c)(a−b)(a−c)(y−z)(x−y)(x−z)

(Y−A)(Y−B)(Y−C)=(c−a)(c−b)(a−b)(x−y)(x−z)(y−z)

(Z−A)(Z−B)(Z−C)=(b−a)(c−a)(b−c)(x−z)(y−z)(x−z)

Ta thấy , vế phải của ba đẳng thức trên là tích của sáu thừa số . Các thừa số đều có mặt trong các tích nếu ta áp dụng quy tắc đổi dấu