x4 + ax + b\(⋮\)x2 - 4
<=> x4 + ax + b\(⋮\)( x - 2 ) ( x + 2 )
<=>\(\hept{\begin{cases}x^4+ax+b⋮x-2\\x^4+ax+b⋮x+2\end{cases}}\)
Đặt f ( x ) = x4 + ax + b
Theo định lý Bezout về phép chia đa thức, số dư của f ( x ) = x4 + ax + b cho x - 2 ; x + 2 lần lượt là f ( 2 ) ; f ( - 2 )
Để phép chia là chia hết thì\(\hept{\begin{cases}f\left(2\right)=16+2a+b=0\\f\left(-2\right)=-16-2a+b=0\end{cases}}\)
<=>\(\hept{\begin{cases}2a+b=-16\left(1\right)\\-2a+b=16\left(2\right)\end{cases}}\)
Lấy ( 1 ) - ( 2 ) ta được : 4a = 0 <=> a = 0
Thay a = 0 vào ( 1 ) ta được : 0 + b = - 16 <=> b = - 16
Vậy \(\hept{\begin{cases}a=0\\b=-16\end{cases}}\)
bạn ơi định lý bezout là gì vậy
@Bảo Ngô :
Định lí Bézout : Phần dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x) = x - a là một hằng số bằng f(a)
Hệ quả của định lí Bézout : Nếu a là nghiệm của f(x) thì f(x) chia hết cho x - a
Nếu bạn không hiểu Bézout thì mình bày cho cách này đơn giản hơn :> Nó na ná cách của Ngọc :))
Ta có : Nghiệm của x2 - 4 là x = 2 và x = -2
=> Để x4 + ax + b chia hết cho x2 - 4 thì x4 + ax + b cũng nhận x = 2 và x = -2 làm nghiệm
1) Với x = 2
=> 24 + a.2 + b = 0
=> 16 + 2a + b = 0
=> 2a + b = -16 (1)
2) Với x = -2
=> (-2)4 + a.(-2) + b = 0
=> 16 - 2a + b = 0
<=> 2a - b = 16 (2)
Từ (1) và (2) => \(\hept{\begin{cases}2a+b=-16\\2a-b=16\end{cases}}\)
Lấy (1) - (2) theo vế
=> 2b = -32 => b = -16
Thế b = -16 vào (1)
=> 2a - 16 = -16 => 2a = 0 => a = 0
Vậy \(\hept{\begin{cases}a=0\\b=-16\end{cases}}\)
\(x^4+ax+b\div x^2-4=x^2+4\)dư \(ax+b+16\)
Để \(x^4+ax+b⋮x^2-4\)thì
\(ax+b+16=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}ax=0\\b+16=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=0\\b=-16\end{cases}}}\)
