Ta có \(M=x^2+xy+y^2-3x-3y+2004\)
nên \(4M=4x^2+4xy+4y^2-12x-12y+8016\)
\(=4x^2+4xy+y^2+3y^2-12x-6y-6y+3+9+8004\)
\(=\left(4x^2+4xy+y^2\right)-\left(12x+6y\right)+9+\left(3y^2-6y+3\right)+8004\)
\(=\left(2x+y\right)^2-6\left(2x+y\right)+9+3\left(y^2-2y+1\right)+8004\)
\(=\left(2x+y-3\right)^2+3\left(y-1\right)^2+8004\)
Lại có: \(\left(2x+y-3\right)^2\ge0\) và \(3\left(y-1\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow4M=\left(2x+y-3\right)^2+3\left(y-1\right)^2+8004\ge8004\) với mọi \(x;y\)
\(\Rightarrow M\ge2001\)
Dấu \(''=''\) xảy ra \(\Leftrightarrow\left(2x+y-3\right)^2=0\) và \(3\left(y-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow2x+y-3=0;y-1=0\)
\(\Leftrightarrow x=1;y=1\)
Vậy, GTNN của M = 2001 khi và chỉ khi x = y = 1
