Question

Với q , p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng: \(p^4-q^4\) chia hết cho 240.

Answer 1

Ta có: p⁴ – q⁴ = (p⁴ – 1 ) – (q⁴ – 1) ; 240 = 8 .2.3.5

Chứng minh p⁴ – 1   240

- Do p >5 nên p là số lẻ                                                                              

+ Mặt khác: p⁴ –1  = (p –1) (p + 1) (p² +1)                                                 

--> (p-1 và (p+1) là hai số chẵn liên tiếp  => (p – 1) (p+1)  8                   

+ Do p là số lẻ nên p²  là số lẻ ->  p² +1  2                                                 

- p > 5 nên p có dạng:

   + p = 3k +1 --> p – 1 = 3k + 1 – 1  = 3k   3  --> p⁴ – 1  3 

   + p = 3k + 2 -->  p + 1  = 3k + 2 + 1  = 3k +3  3  -->  p⁴ – 1  3             

- Mặt khác, p có thể là dạng:

+ P =  5k +1 --> p – 1  = 5k + 1 – 1  = 5k    5   --> p⁴ – 1    5

+ p = 5 k+ 2 --> p² + 1 = (5k +2)²  +1  = 25k²  + 20k +5  5 --> p⁴ – 1  5  

+ p = 5k +3 --> p² +1 = 25k² + 30k +10 --> p⁴ –1  5

+ p = 5k +4 --> p + 1 = 5k +5  5 --> p⁴ – 1  5                                            

Vậy p⁴ – 1  8 . 2. 3 . 5 hay p⁴ – 1  240

Tương tự ta cũng có q⁴ – 1  240                                                                   

Vậy: (p⁴ – 1) – (q⁴ –1)  = p⁴ – q⁴    240

 mk nha các bạn !!!

Answer 2

 Edogawa Conan Copy, ko k

Answer 3

Ta có: p 4 – q 4 = (p 4 – 1 ) – (q 4 – 1) ; 240 = 8 .2.3.5

Chứng minh p 4 – 1 240

- Do p >5 nên p là số lẻ

+ Mặt khác: p 4 –1 = (p –1) (p + 1) (p 2 +1)

--> (p-1 và (p+1) là hai số chẵn liên tiếp => (p – 1) (p+1) 8

+ Do p là số lẻ nên p 2 là số lẻ -> p 2 +1 2

- p > 5 nên p có dạng:

+ p = 3k +1 --> p – 1 = 3k + 1 – 1 = 3k 3

--> p 4 – 1 3 + p = 3k + 2 --> p + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k +3 3 --> p 4 – 1 3 - Mặt khác, p có thể là dạng: + P = 5k +1 --> p – 1 = 5k + 1 – 1 = 5k 5 --> p 4 – 1 5 + p = 5 k+ 2 --> p 2 + 1 = (5k +2)2 +1 = 25k 2 + 20k +5 5 --> p 4 – 1 5 + p = 5k +3 --> p 2 +1 = 25k 2 + 30k +10 --> p 4 –1 5 + p = 5k +4 --> p + 1 = 5k +5 5 --> p 4 – 1 5 Vậy p 4 – 1 8 . 2. 3 . 5 hay p 4 – 1 240 Tương tự ta cũng có q 4 – 1 240 Vậy: (p 4 – 1) – (q 4 –1) = p 4 – q 4 240 

Answer 4

Ta có: p 4 – q 4 = (p 4 – 1 ) – (q 4 – 1) ; 240 = 8 .2.3.5

Chứng minh p 4 – 1 240

- Do p >5 nên p là số lẻ

+ Mặt khác: p 4 –1 = (p –1) (p + 1) (p 2 +1)

--> (p-1 và (p+1) là hai số chẵn liên tiếp => (p – 1) (p+1) 8

+ Do p là số lẻ nên p 2 là số lẻ -> p 2 +1 2

- p > 5 nên p có dạng:

+ p = 3k +1 --> p – 1 = 3k + 1 – 1 = 3k 3

--> p 4 – 1 3 + p = 3k + 2 --> p + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k +3 3 --> p 4 – 1 3 - Mặt khác, p có thể là dạng: + P = 5k +1 --> p – 1 = 5k + 1 – 1 = 5k 5 --> p 4 – 1 5 + p = 5 k+ 2 --> p 2 + 1 = (5k +2)2 +1 = 25k 2 + 20k +5 5 --> p 4 – 1 5 + p = 5k +3 --> p 2 +1 = 25k 2 + 30k +10 --> p 4 –1 5 + p = 5k +4 --> p + 1 = 5k +5 5 --> p 4 – 1 5 Vậy p 4 – 1 8 . 2. 3 . 5 hay p 4 – 1 240 Tương tự ta cũng có q 4 – 1 240 Vậy: (p 4 – 1) – (q 4 –1) = p 4 – q 4 240

Answer 5

Ta có: p 4 – q 4 = (p 4 – 1 ) – (q 4 – 1) ; 240 = 8 .2.3.5

Chứng minh p 4 – 1 240

- Do p >5 nên p là số lẻ

+ Mặt khác: p 4 –1 = (p –1) (p + 1) (p 2 +1)

--> (p-1 và (p+1) là hai số chẵn liên tiếp => (p – 1) (p+1) 8

+ Do p là số lẻ nên p 2 là số lẻ -> p 2 +1 2

- p > 5 nên p có dạng:

+ p = 3k +1 --> p – 1 = 3k + 1 – 1 = 3k 3

--> p 4 – 1 3 + p = 3k + 2 --> p + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k +3 3 --> p 4 – 1 3 - Mặt khác, p có thể là dạng: + P = 5k +1 --> p – 1 = 5k + 1 – 1 = 5k 5 --> p 4 – 1 5 + p = 5 k+ 2 --> p 2 + 1 = (5k +2)2 +1 = 25k 2 + 20k +5 5 --> p 4 – 1 5 + p = 5k +3 --> p 2 +1 = 25k 2 + 30k +10 --> p 4 –1 5 + p = 5k +4 --> p + 1 = 5k +5 5 --> p 4 – 1 5 Vậy p 4 – 1 8 . 2. 3 . 5 hay p 4 – 1 240 Tương tự ta cũng có q 4 – 1 240 Vậy: (p 4 – 1) – (q 4 –1) = p 4 – q 4 240 

Answer 6

Ta có: p 4 – q 4 = (p 4 – 1 ) – (q 4 – 1) ; 240 = 8 .2.3.5

Chứng minh p 4 – 1 240

- Do p >5 nên p là số lẻ

+ Mặt khác: p 4 –1 = (p –1) (p + 1) (p 2 +1)

--> (p-1 và (p+1) là hai số chẵn liên tiếp => (p – 1) (p+1) 8

+ Do p là số lẻ nên p 2 là số lẻ -> p 2 +1 2

- p > 5 nên p có dạng:

+ p = 3k +1 --> p – 1 = 3k + 1 – 1 = 3k 3

--> p 4 – 1 3 + p = 3k + 2 --> p + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k +3 3 --> p 4 – 1 3 - Mặt khác, p có thể là dạng: + P = 5k +1 --> p – 1 = 5k + 1 – 1 = 5k 5 --> p 4 – 1 5 + p = 5 k+ 2 --> p 2 + 1 = (5k +2)2 +1 = 25k 2 + 20k +5 5 --> p 4 – 1 5 + p = 5k +3 --> p 2 +1 = 25k 2 + 30k +10 --> p 4 –1 5 + p = 5k +4 --> p + 1 = 5k +5 5 --> p 4 – 1 5 Vậy p 4 – 1 8 . 2. 3 . 5 hay p 4 – 1 240 Tương tự ta cũng có q 4 – 1 240 Vậy: (p 4 – 1) – (q 4 –1) = p 4 – q 4 240 

Answer 7

Ta có: p 4 – q 4 = (p 4 – 1 ) – (q 4 – 1) ; 240 = 8 .2.3.5

Chứng minh p 4 – 1 240

- Do p >5 nên p là số lẻ

+ Mặt khác: p 4 –1 = (p –1) (p + 1) (p 2 +1)

--> (p-1 và (p+1) là hai số chẵn liên tiếp => (p – 1) (p+1) 8

+ Do p là số lẻ nên p 2 là số lẻ -> p 2 +1 2

- p > 5 nên p có dạng:

+ p = 3k +1 --> p – 1 = 3k + 1 – 1 = 3k 3

--> p 4 – 1 3 + p = 3k + 2 --> p + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k +3 3 --> p 4 – 1 3 - Mặt khác, p có thể là dạng: + P = 5k +1 --> p – 1 = 5k + 1 – 1 = 5k 5 --> p 4 – 1 5 + p = 5 k+ 2 --> p 2 + 1 = (5k +2)2 +1 = 25k 2 + 20k +5 5 --> p 4 – 1 5 + p = 5k +3 --> p 2 +1 = 25k 2 + 30k +10 --> p 4 –1 5 + p = 5k +4 --> p + 1 = 5k +5 5 --> p 4 – 1 5 Vậy p 4 – 1 8 . 2. 3 . 5 hay p 4 – 1 240 Tương tự ta cũng có q 4 – 1 240 Vậy: (p 4 – 1) – (q 4 –1) = p 4 – q 4 240 

Answer 8

Ta có: p 4 – q 4 = (p 4 – 1 ) – (q 4 – 1) ; 240 = 8 .2.3.5

Chứng minh p 4 – 1 240

- Do p >5 nên p là số lẻ

+ Mặt khác: p 4 –1 = (p –1) (p + 1) (p 2 +1)

--> (p-1 và (p+1) là hai số chẵn liên tiếp => (p – 1) (p+1) 8

+ Do p là số lẻ nên p 2 là số lẻ -> p 2 +1 2

- p > 5 nên p có dạng:

+ p = 3k +1 --> p – 1 = 3k + 1 – 1 = 3k 3

--> p 4 – 1 3 + p = 3k + 2 --> p + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k +3 3 --> p 4 – 1 3 - Mặt khác, p có thể là dạng: + P = 5k +1 --> p – 1 = 5k + 1 – 1 = 5k 5 --> p 4 – 1 5 + p = 5 k+ 2 --> p 2 + 1 = (5k +2)2 +1 = 25k 2 + 20k +5 5 --> p 4 – 1 5 + p = 5k +3 --> p 2 +1 = 25k 2 + 30k +10 --> p 4 –1 5 + p = 5k +4 --> p + 1 = 5k +5 5 --> p 4 – 1 5 Vậy p 4 – 1 8 . 2. 3 . 5 hay p 4 – 1 240 Tương tự ta cũng có q 4 – 1 240 Vậy: (p 4 – 1) – (q 4 –1) = p 4 – q 4 240