Question

voi a,b,c>0 CMR:

a³+b³/2ab + b³+c³/2bc + c³+a³/2ac > hoac = a+b+c

Please help me!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 1

Đặt  \(A=\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\)

Với mọi  \(a,b,c>0\)  thì ta có bất đẳng thức luôn đúng với điều kiện trên như sau:

 \(a^3+b^3\ge a^2b+ab^2;\)  \(b^3+c^3\ge b^2c+bc^2\)  và  \(b^3+c^3\ge b^2c+bc^2\)

Khi đó, vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh, tức biểu thức  \(A\)  sẽ trở thành:

\(A=\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\ge\frac{a^2b+ab^2}{2ab}+\frac{b^2c+bc^2}{2bc}+\frac{c^2a+ca^2}{2ca}=\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}=a+b+c\)

Xảy ra đẳng thức trên khi và chỉ khi  \(a=b=c\)