Giả sử \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{3}{2}\)
\(< =>\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=\frac{6}{2}=3\)(bđt nesbitt)
Giờ ta chỉ cần chỉ ra được \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\) thì bài toán được hoàn tất chứng minh
Thật vậy , theo BĐT Cauchy ta có \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}=3\sqrt[3]{\frac{abc}{abc}}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)
Vậy bài toán đã được hoàn tất chứng minh
p/s : tí mình sẽ chứng minh bđt nesbitt ở dưới nhé
BĐT cần CM <=> \(\frac{a}{b}-\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c}-\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a}-\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
<=> \(\frac{ac}{b\left(b+c\right)}+\frac{ab}{c\left(c+a\right)}+\frac{bc}{a\left(a+b\right)}\ge\frac{3}{2}\) (1)
Đặt: \(A=\frac{ab}{c\left(c+a\right)}+\frac{bc}{a\left(a+b\right)}+\frac{ca}{b\left(b+c\right)}\)
\(A=\frac{a^2b^2}{abc\left(c+a\right)}+\frac{b^2c^2}{abc\left(a+b\right)}+\frac{c^2a^2}{abc\left(b+c\right)}\)
ÁP DỤNG BĐT CAUCHY - SCHWARZ SẼ ĐƯỢC:
=> \(A\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{abc\left(a+b+b+c+c+a\right)}=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2abc\left(a+b+c\right)}\)
TA TIẾP TỤC 1 BĐT: \(\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\)
=> \(A\ge\frac{3abc\left(a+b+c\right)}{2abc\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{2}\) (2)
TỪ (1) VÀ (2) => TA CÓ ĐPCM.
Arcobale_new làm kiểu gì thế ??
BĐT ngược chiều rồi nha bạn.
Ta biến đổi thành \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{a^2}{a\left(b+c\right)}+\frac{b^2}{b\left(c+a\right)}+\frac{c^2}{c\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+ab}+\frac{c^2}{ca+cb}\)
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có :
\(\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+ab}+\frac{c^2}{ca+cb}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+ac+bc+ab+ca+cb}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)(*)
Ta sẽ chứng minh bđt phụ sau : \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
\(< =>\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)< =>a^2+b^2+c^2\ge\left(3-2\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
\(< =>a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca< =>\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)*đúng*
Áp dụng vào bất đẳng thức (*) ta được
\(RHS\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2.\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{2}{3}.\left(a+b+c\right)^2}=\frac{1}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
không có ngược đâu ạ vẫn đúng theo chiều \(\ge\)vì \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
Bài Arcobale ngược dấu nhé. Bài làm của bạn dẫn đến một bất đẳng thức yếu hơn.
Bạn nên nhớ, khi \(A\ge C,C\ge B\) ta mới có \(A\ge B\)
Nhưng bài bạn là \(A\ge B\ge C\Rightarrow A\ge B\) chẳng khác nào bạn thừa nhận bất đẳng thức ban đầu đúng mà ko cm
