Lời giải:
Xếp $120$ số nhận giá trị $1$ hoặc $-1$ là $a_1,a_2,a_3,...,a_{120}$ theo thứ tự vào vòng tròn. Theo bài ra ta có:
$a_1a_2a_3=-1$
$a_2a_3a_4=-1$
$\Rightarrow a_1a_4(a_2a_3)^2=1$
$\Rightarrow a_1a_4=1$
$\Rightarrow a_1,a_4$ nhận cùng giá trị
Tương tự, ta có $(*)$
$a_1,a_4,a_7, ....., a_{118}$ cùng giá trị
$a_2,a_5,a_8,....,a_{119}$ cùng giá trị
$a_3,a_6,....,a_{120}$ cùng giá trị
Vì $a_1a_2a_3=-1$ nên xảy ra 2 TH:
TH1: Cả 3 số đều bằng $-1$
Kết hợp với $(*)$ suy ra tất cả đều $=-1$
$\Rightarrow$ tổng 120 số là $-120$
TH2: Hai số bằng 1, một số bằng $-1$
Như vậy: Có 40+40=80 số bằng $1$ và 40 số bằng $-1$
Tổng 120 số là: $80+40.(-1)=40$