vẽ + giải
Bài 1: Cho tam giác \( ABC \) cân tại \( A \). Điểm \( M \) là trung điểm của \( BC \). Vẽ \( ME \) vuông góc \( AB \) tại \( E \); \( MF \) vuông góc \( AC \) tại \( F \). Chứng minh rằng:
a) \( AM \) là đường trung trực của \( BC \) \hspace{4cm} b) \( AM \) là đường trung trực của \( EF \)
Bài 2. Cho tam giác \( ABC \) có góc \( A \) tù. Tia phân giác của góc \( B \) và góc \( C \) cắt nhau tại \( O \). Lấy điểm \( E \) trên cạnh \( AB \). Từ \( E \) kẻ \( EP \perp BO(P \in BC) \). Từ \( P \) kẻ \( PF \perp OC(F \in AC) \). Chứng minh rằng \( OB, OC \) lần lượt là trung trực của đoạn thẳng \( EP \) và \( FP \).
Bài 1:
a: Xét ΔAMB và ΔAMC có
AM chung
MB=MC
AB=AC
Do đó: ΔAMB=ΔAMC
=>\(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\)
mà \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)
=>AM\(\perp\)BC
mà M là trung điểm của BC
nên AM là đường trung trực của BC
b: ΔAMB=ΔAMC
=>\(\widehat{MAB}=\widehat{MAC}\)
Xét ΔAEM vuông tại E và ΔAFM vuông tại F có
AM chung
\(\widehat{EAM}=\widehat{FAM}\)
Do đó: ΔAEM=ΔAFM
=>AE=AF và ME=MF
=>AM là đường trung trực của EF
Bài 2:
Gọi M là giao điểm của PF và AC
Xét ΔCFP vuông tại F và ΔCFM vuông tại F có
CF chung
\(\widehat{FCP}=\widehat{FCM}\)
Do đó: ΔCFP=ΔCFM
=>CP=CM
Xét ΔCPO và ΔCMO có
CP=CM
\(\widehat{PCO}=\widehat{MCO}\)
CO chung
Do đó: ΔCPO=ΔCMO
=>OP=OM
=>O nằm trên đường trung trực của PM(3)
Ta có: FP=FM(ΔCFP=ΔCFM)
=>F nằm trên đường trung trực của PM(4)
Từ (3),(4) suy ra OF là đường trung trực của PM
=>OC là đường trung trực của PF
Gọi H là giao điểm của EP và BC
Xét ΔBPE vuông tại P và ΔBPH vuông tại P có
BP chung
\(\widehat{PBE}=\widehat{PBH}\)
Do đó: ΔBPE=ΔBPH
=>BE=BH
Xét ΔBEO và ΔBHO có
BE=BH
\(\widehat{EBO}=\widehat{HBO}\)
BO chung
Do đó: ΔBEO=ΔBHO
=>OE=OH
=>O nằm trên đường trung trực của EH(1)
Ta có: PE=PH
=>P nằm trên đường trung trực của EH(2)
Từ (1),(2) suy ra OP là đường trung trực của EH
=>OB là đường trung trực của EP
