vẽ + giải
Bài 1. Cho tam giác \(ABC\), các đường trung tuyến \(BM\) và \(CN\) cắt nhau tại \(G\). Biết \(\widehat{GCB} < \widehat{GBC}\). Chứng minh rằng \(BM < CN\).
Bài 2. Cho tam giác \(ABC\) đều có \(G\) là trọng tâm
a) Chứng minh \(GA = GB = GC\).
b) Trên tia \(AG\) lấy điểm \(D\) sao cho \(GD = GA\). Chứng minh \(\triangle BGD\) là tam giác đều.
Bài 1:
Xét ΔGBC có \(\widehat{GCB}< \widehat{GBC}\)
mà GB,GC lần lượt là cạnh đối diện của các góc GCB,GBC
nên GB<GC
Xét ΔABC có
BM,CN là các đường trung tuyến
BM cắt CN tại G
Do đó: G là trọng tâm của ΔABC
=>\(GB=\dfrac{2}{3}BM;GC=\dfrac{2}{3}CN\)
mà GB<GC
nên BM<CN
Bài 2:
a: Gọi M là giao điểm của AG và BC, N là giao điểm của BG với AC, P là giao điểm của CG với AB
Xét ΔABC có G là trọng tâm
=>P,M,N lần lượt là trung điểm của AB,BC,AC
Ta có: \(AP=PB=\dfrac{AB}{2}\)
\(BM=CM=\dfrac{BC}{2}\)
\(CN=AN=\dfrac{AC}{2}\)
mà AB=BC=AC
nên AP=PB=BM=CM=CN=AN
Xét ΔAPC và ΔANB có
AP=AN
\(\widehat{PAC}\) chung
AC=AB
Do đó: ΔAPC=ΔANB
=>PC=NB
Xét ΔBPC và ΔBMA có
BP=BM
\(\widehat{PBC}\) chung
BC=BA
Do đó: ΔBPC=ΔBMA
=>PC=MA
=>AM=BN=CP
Xét ΔABC có
AM,BN,CP là các đường trung tuyến
AM,BN,CP cắt nhau tại G
Do đó: \(GA=\dfrac{2}{3}AM;GB=\dfrac{2}{3}BN;GC=\dfrac{2}{3}CP\)
mà AM=BN=CP
nên GA=GB=GC
b: ΔABC đều
mà BN là đường trung tuyến
nên BN là đường phân giác
=>\(\widehat{NBC}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}=30^0\)
ΔABC cân tại A
mà AM là đường trung tuyến
nên AM\(\perp\)BC tại M
Xét ΔABC có
AM là đường trung tuyến
G là trọng tâm
Do đó: AG=2GM
mà AG=GD
nên GD=2GM
=>M là trung điểm của GD
ΔBGM vuông tại M
=>\(\widehat{MBG}+\widehat{MGB}=90^0\)
=>\(\widehat{BGD}=90^0-30^0=60^0\)
Xét ΔBGD có
BM là đường cao
BM là đường trung tuyến
Do đó: ΔBGD cân tại B
Xét ΔBGD cân tại B có \(\widehat{BGD}=60^0\)
nên ΔBGD đều
