Question

VD1: Giải phương trình nghiệm nguyên:

\(1+x+x^2+x^3=y^3\)

VD2: Giải phương trình nghiệm nguyên:

\(x^4-y^4+z^4+2x^2z^2+3x^2+4z^2+1=0\)

Answer 1

#)Giải :

VD1:

Với \(\orbr{\begin{cases}x>0\\x< -1\end{cases}}\)ta có :

\(x^3< x^3+x^2+x+1< \left(x+1\right)^3\)

\(\Rightarrow x^3< y^3< \left(x+1\right)^3\)( không thỏa mãn )

\(\Rightarrow-1\le x\le0\)

Mà \(x\in Z\Rightarrow x\in\left\{-1;0\right\}\)

Với \(\orbr{\begin{cases}x=-1\\x=0\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y=0\\y=1\end{cases}}}\)

Vậy...........................

Answer 2

#)Giải :

VD2:

\(x^4-y^4+z^4+2x^2z^2+3x^2+4z^2+1=0\)

\(\Leftrightarrow y^4=x^4+z^4+2x^2z^2+3x^2+4z^2+1\)

\(\Leftrightarrow y^4=\left(x^2+y^2\right)+3x^2+4z^2+1\)

Ta dễ nhận thấy : \(\left(x^2+y^2\right)^2< y^4< \left(x^2+y^2+2\right)^2\)

Do đó \(y^4=\left(x^2+y^2+1\right)^2\)

Thay vào phương trình, ta suy ra được \(x=z=0\)

\(\Rightarrow y=\pm1\)

Answer 3

VD1:

Với x=-1 thì y=0.

Với x>0 thì \(x^3< 1+x+x^2+x^3< x^3+3x^2+3x+1.\)

\(\Leftrightarrow x^3< y^3< \left(x+1\right)^3.\), Điều này vô lí .

Với x<-1 thì \(x^3+3x^2+3x+1< 1+x+x^2+x^3< x^3\), 

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3< y^3< x^3\),Điều này vô lí.

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm nguyên \(\left(x,y\right)\)là \(\left(0;1\right),\left(-1;0\right).\)

VD2:

Chuyển vế ta có:

\(y^4=x^4+z^4+2x^2z^2+3x^2+4z^2+1.\)

Nếu \(x\ne0\)hoặc \(z\ne0\)thì

\(x^4+1^4+z^4+2x^2z^2+2z^2+2x^2< x^4+z^4+2x^2z^2+3x^2+4z^2+1< x^4+y^4+2^4+2x^2y^2+\)

            \(4x^2+4z^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+z^2+1\right)^2< y^4< \left(x^2+y^2+2\right)^2\). Điều này vô lí với y nguyên

Với \(x=z=0\Rightarrow y^4=1\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=1\\y=-1\end{cases}}\)

Do đó phương trình đã cho có các nghiệm nguyên (x, y, z) là ( 0;1;0) ,( 0;-1;0)

Answer 4

\(x^2+x+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\Rightarrow y^3>x^3\)

\(\left(x+2\right)^3=\left(x^2+4x+4\right)\left(x+2\right)=x^3+2x^2+4x^2+8x+4x+8=x^3+6x^2+12x+8\);

\(y^3< \left(x+2\right)^3\)

\(\Leftrightarrow5x^2+11x+7>0\)thật vậy:

\(5x^2+11x+7=5\left(x^2+\frac{11}{5}x+\frac{121}{100}\right)+\frac{19}{20}>0\Leftrightarrow5\left(x+\frac{11}{10}\right)^2+\frac{19}{20}>0\left(\text{luôn đúng}\right)\)

nên: \(x^3< y^3< \left(x+2\right)^3\Rightarrow y=x+1\)

\(\Rightarrow x^3+x^2+x+1=\left(x+1\right)^3=x^3+3x^2+3x+1\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2x=0\Leftrightarrow x^2+x=0\Leftrightarrow x\left(x+1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+1=0\\x=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-1\\x=0\end{cases}}\)

+) x=-1 => y³=0 => y=0

+) x=0 => y³=1 => y=1

Vậy 2 nghiệm của phương trình là: \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(-1;0\right);\left(0;1\right)\right\}\)