Question

Từ một điểm A nằm ở ngoài đường tròn (O; R ) . Vẽ hai tiếp tuyến AB , AC với đường tròn ( B ; C là các tiếp điểm ) . Vẽ dây BD vuông góc với BC . Đường vuông góc với DO tại O cắt tia DB tại E . Chứng minh tứ giác AOBE là hình thang cân .

Answer 1

Answer 2

Ta có AB,AC là tiếp tuyến của (O)

\(\Rightarrow AB\perp OB,AC\perp OC,AO\perp CB\)

\(\Rightarrow ABOC\) nội tiếp đường tròn đường kính AO (1)

Vì \(BD\perp BC\Rightarrow AO//DE\left(\perp BC\right)\Rightarrow\widehat{DBC}=90^0\) = > CD là đường kính của (O) 

Mà \(EO\perp CD,BC\perp DE\Rightarrow\widehat{EBC}=\widehat{EOC}=90^0\)

\(\Rightarrow ECOB\) nội tiếp (2) 

Từ (1) , (2) \(\Rightarrow A,E,B,O,C\)  nội tiếp đường tròn đường kính AO

\(\Rightarrow EAOB\) nội tiếp 

\(\Rightarrow\widehat{EAO}+\widehat{EBO}=180^0\)

Mà \(\widehat{EBO}+\widehat{BOA}=180^0\left(BE//AO\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{EAO}=\widehat{BOA}\)

\(\Rightarrow AOBE\)  là hình thang cân