Question

Từ điểm P nằm ngoài (O) vẽ hai tiếp tuyến PA;PB tới (O) ( A;B là các tiếp điểm), PO cắt (O) tại K và I (K nằm giữa P và O) và AB tại H. Gọi D là điểm đối xứng của B qua O, PD giao với (O) tại C. Chứng minh: 

a) H,B,C,P cùng thuộc một đường tròn

b) AC⊥CH

Answer 1

a) - Do D là đối xứng của B qua O.

\(\Rightarrow\)BD là đường kính của \(\left(O\right)\).

Mà \(C\in\left(O\right)\) \(\Rightarrow\widehat{BCD}=90^0\).

- Do PA, PB là 2 tiếp tuyến của \(\left(O\right)\).

\(\Rightarrow OP\perp AB\) tại H.

- Gọi E là trung điểm BP.

- \(\Delta HBP\) vuông tại H có: HE là trung tuyến.

\(\Rightarrow HE=BE=PE=\dfrac{BP}{2}\left(1\right)\)

- \(\Delta PBC\) vuông tại C có: CE là trung tuyến.

\(\Rightarrow CE=BE=PE=\dfrac{BP}{2}\left(2\right)\)

- Từ (1), (2) suy ra: \(CE=HE=BE=PE\)

\(\Rightarrow\)H, B, C, P cùng thuộc 1 đường tròn.

 

 

 

Answer 2

b) - Ta có:

\(\widehat{EHB}=\dfrac{180^0-\widehat{HEB}}{2}\) (\(\Delta HEB\) cân tại E).

\(\widehat{EHC}=\dfrac{180^0-\widehat{HEC}}{2}\) (\(\Delta HEC\) cân tại E).

\(\widehat{CPE}=\dfrac{180^0-\widehat{CEP}}{2}\) (\(\Delta PCE\) cân tại E).

- Cộng lại, ta có: \(\widehat{CHB}+\widehat{CPB}=\dfrac{3.180^0-180^0}{2}=180^0\)

Mà \(\widehat{CHB}+\widehat{AHC}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{AHC}=\widehat{CPB}\).

- Tương tự, ta có: \(\widehat{CAD}+\widehat{CBD}=180^0\)

\(\Rightarrow90^0+\widehat{CAH}+\widehat{CBD}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{CAH}+\widehat{CBD}=90^0\)

Mà \(\widehat{CDB}+\widehat{CBD}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{CAH}=\widehat{CDB}\)

Mà \(\widehat{CDB}+\widehat{CPB}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{CAH}+\widehat{CPB}=90^0\) mà \(\widehat{AHC}=\widehat{CPB}\)
\(\Rightarrow\widehat{CAH}+\widehat{AHC}=90^0\)

\(\Rightarrow AC\perp CH\) tại C.

 -Không hiểu chỗ nào thì em cứ hỏi em nhé!