Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm (O) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn ( A, B là các tiếp điểm). Chứng minh:
a) Tứ giác MAOB nội tiếp
b) Kẻ dây AC song song với BM. Đường thẳng MC cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D ( D khác C). Gọi E là giao điểm của AD và MB. Chứng minh BE2= DE.AE và BE=ME
c) Gọi H và K lần lượt là giao điểm của MO với AB và đường tròn (O) ( H nằm giữa M và K), HE cắt AK tại I. Chứng minh AK vuông góc với BI
a) Xét tứ giác MAOB có \(\widehat{MAO}=\widehat{MOC}=90^o\)
\(=>\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=180^o\)
=> MAOB nội tiếp
b) ADBC nội tiếp \(=>\widehat{ACB}+\widehat{ADB}=180^o;\widehat{ADB}+\widehat{BDE}=180^o\)
\(=>\widehat{ACB}=\widehat{BDE}\left(1\right)\)
Có AC // BM mà \(OB\perp BM=>AC\perp OB\)
mà AC là dây cung => OB là trung trực AC
=> BC = BA => ΔÂBC cân tại B
\(=>\widehat{BAC}=\widehat{BCA}=>\widehat{ACB}=\widehat{ABM}\left(2\right)\)
Có AC // BM \(=>\widehat{BAC}=\widehat{ABM}\)
Từ (1) và (2) \(=>\widehat{BDE}=\widehat{ABM}\)
Xét ΔABE và ΔBDE có \(\widehat{AEB}=\widehat{BED};\widehat{ABE}=\widehat{BOE}\)
=> ΔABE ∼ ΔBDE (g.g)
\(=>\dfrac{BE}{DE}=\dfrac{AE}{BE}=>BE^2=AE.DE\)
