Question

Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MP, MQ của đường tròn (P, Q là các tiếp điểm) và một cát tuyến MAB không đi qua tâm O (MA < MB) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB
\(MP^2\) = MA.MB và góc BAO = góc BHO
(GIÚP MÌNH LÀM CẢ PHẦN C NHA)

Answer 1

Xét (O) có

\(\widehat{MPA}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến PM và dây cung PA

\(\widehat{PBA}\) là góc nội tiếp chắn cung PA

Do đó: \(\widehat{MPA}=\widehat{PBA}\)

Xét ΔMPA và ΔMBP có

\(\widehat{MPA}=\widehat{MBP}\)

\(\widehat{PMA}\) chung

Do đó: ΔMPA~ΔMBP

=>\(\dfrac{MP}{MB}=\dfrac{MA}{MP}\)

=>\(MP^2=MA\cdot MB\left(1\right)\)

Xét (O) có

MP,MQ là các tiếp tuyến

Do đó: MP=MQ

=>M nằm trên đường trung trực của PQ(2)

Ta có: OP=OQ

=>O nằm trên đường trung trực của PQ(3)

Từ (2),(3) suy ra MO là đường trung trực của PQ

=>MO\(\perp\)PQ tại H và H là trung điểm của PQ

Xét ΔMPO vuông tại P có PH là đường cao

nên \(MH\cdot MO=MP^2\left(4\right)\)

Từ (1),(4) suy ra \(MH\cdot MO=MA\cdot MB\)

=>\(\dfrac{MH}{MB}=\dfrac{MA}{MO}\)

Xét ΔMHA và ΔMBO có

\(\dfrac{MH}{MB}=\dfrac{MA}{MO}\)

\(\widehat{HMA}\) chung

Do đó: ΔMHA~ΔMBO

=>\(\widehat{MHA}=\widehat{MBO}\)

=>\(\widehat{OHA}+\widehat{OBA}=180^0\)

=>OHAB nội tiếp

=>\(\widehat{BAO}=\widehat{BHO}\)