Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA⊥BC tại H và H là trung điểm của BC
Xét (O) có
\(\hat{ABD}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BD
\(\hat{BED}\) là góc nội tiếp chắn cung BD
Do đó: \(\hat{ABD}=\hat{BED}\)
Xét ΔABD và ΔAEB có
\(\hat{ABD}=\hat{AEB}\)
góc BAD chung
Do đó: ΔABD~ΔAEB
=>\(\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AB}\)
=>\(AD\cdot AE=AB^2\left(3\right)\)
Xét ΔABO vuông tại B có BH là đường cao
nên \(AH\cdot AO=AB^2\left(4\right)\)
Từ (3),(4) suy ra \(AD\cdot AE=AH\cdot AO\)
=>\(\frac{AD}{AO}=\frac{AH}{AE}\)
Xét ΔADH và ΔAOE có
\(\frac{AD}{AO}=\frac{AH}{AE}\)
góc DAH chung
Do đó: ΔADH~ΔAOE
=>\(\hat{AHD}=\hat{AEO}\)
mà \(\hat{AHD}+\hat{OHD}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{OED}+\hat{OHD}=180^0\)
=>OHDE là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{EHO}=\hat{EDO}\)
mà \(\hat{EDO}=\hat{OED}\) (ΔOED cân tại O)
và \(\hat{OED}=\hat{AHD}\) (cmt)
nên \(\hat{EHO}=\hat{AHD}\)
ta có: \(\hat{EHO}+\hat{BHE}=\hat{BHO}=90^0\)
\(\hat{AHD}+\hat{BHD}=\hat{BHA}=90^0\)
mà \(\hat{EHO}=\hat{AHD}\)
nên \(\hat{BHE}=\hat{BHD}\)
=>HB là phân giác của góc EHD
Xét ΔOED có \(cosEOD=\frac{OE^2+OD^2-DE^2}{2\cdot OE\cdot OD}=\frac{R^2+R^2-\left(R\sqrt3\right)^2}{2\cdot R\cdot R}=\frac{2R^2-3R^2}{2\cdot R^2}=-\frac12\)
nên \(\hat{EOD}=120^0\)
EOHD là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{EOD}=\hat{EHD}=120^0\)
Xét ΔHED có HI là đường phân giác
nên \(HI=\frac{2\cdot HE\cdot HD}{HE+HD}\cdot cos\left(\frac{EHD}{2}\right)=2\cdot HE\cdot\frac{HD}{HE+HD}\cdot cos60\)
\(=\frac{HE\cdot HD}{HE+HD}\cdot2\cdot\frac12=\frac{HE\cdot HD}{HE+HD}\)
=>\(\frac{1}{HI}=\frac{HE+HD}{HE\cdot HD}=\frac{1}{HD}+\frac{1}{HE}\)
