Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R),kẻ hai tiếp tuyến AB,AC đến đường tròn (O;R)Kẻ cát tuyến ADE(D nằm giữa A và E;tia AD nằm giữa hai tia OA và AC)..Gọi H là giao điểm BC và OA,I là giao điểm HC và ED.
a)Tứ giác ABOC nội tiếp
b)Chứng minh OHED nội tiếp và Khi ED=R\(\sqrt{3}\) thì \(\dfrac{1}{HE}+\dfrac{1}{HD}=\dfrac{1}{HI}\)
a: Xét tứ giác ABOC có \(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)
nên ABOC là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC
Xét (O) có
\(\widehat{ABE}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BE
\(\widehat{BDE}\) là góc nội tiếp chắn cung BE
Do đó: \(\widehat{ABE}=\widehat{BDE}\)
Xét ΔABE và ΔADB có
\(\widehat{ABE}=\widehat{ADB}\)
\(\widehat{BAE}\) chung
Do đó: ΔABE~ΔADB
=>\(\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AE}{AB}\)
=>\(AB^2=AD\cdot AE\)
Xét ΔABO vuông tại B có BH là đường cao
nên \(AH\cdot AO=AB^2\)
Do đó: \(AD\cdot AE=AH\cdot AO\)
=>\(\dfrac{AD}{AH}=\dfrac{AO}{AE}\)
Xét ΔADO và ΔAHE có
\(\dfrac{AD}{AH}=\dfrac{AO}{AE}\)
\(\widehat{DAO}\) chung
Do đó: ΔADO~ΔAHE
=>\(\widehat{ADO}=\widehat{AHE}\)
=>\(\widehat{ODE}+\widehat{OHE}=180^0\)
=>OHED là tứ giác nội tiếp
