Đặt 2011=t
\(\Rightarrow T=\sqrt{1+\left(t-1\right)^2+\frac{\left(t-1\right)^2}{t^2}}+\frac{t-1}{t}\)
\(=\sqrt{\frac{t^2+t^2\left(t-1\right)^2+\left(t-1\right)^2}{t^2}}+\frac{t-1}{t}\)
\(=\frac{\sqrt{t^2+t^4-2t^3+t^2+t^2-2t+1}+t-1}{t}\)
\(=\frac{\sqrt{t^4+t^2+1+2t^2-2t^3-2t}+t-1}{t}\)
\(=\frac{\sqrt{\left(t^2-t+1\right)^2}+t-1}{t}\)
\(=\frac{t^2-t+1+t-1}{t}=t=2011\)
mà \(2011\in Z\)
nên T là một số nguyên.