Question

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : x + y + z + 1 = 0.  Một phần tử chuyển động thẳng với vận tốc không đổi từ A ( 1 ; - 3 ; 0 )  đến gặp mặt phẳng (P) tại M , sau đó phần tử đó tiếp tục chuyển động thẳng từ M đến B ( 2 ; 1 ; − 6 )  cùng với vận tốc như lúc trước. Tìm hoành độ của M sao cho thời gian phần tử chuyển động từ A qua M đến B là ít nhất

A.  4 3

B.  5 3

C.  − 1 3

D.  − 1

Answer 1

Đáp án C

Xét mặt phẳng P : x + y + z + 1 = 0.

Đặt  f x ; y ; z = x + y + z + 1

Ta có f A = − 1 ; f B = − 2  suy ra f A . f B > 0 ⇒ A , B  cùng phía so với  P

Gọi C là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng  P ⇒ A C ⊥ P

Phương trình đường thẳng AC có u → = 1 ; 1 ; 1  và đi qua A là  x − 1 1 = y + 3 1 = z 1

Điểm:

C ∈ A C ⇒ C t + 1 ; t − 3 ; t ∈ P ⇒ t + 1 + t − 3 + t + 1 = 0 ⇔ t = 1 3 ⇒ C 4 3 ; − 8 3 ; 1 3

Lại có

A M + B M = C M + B M ⇒ C M + B M min ⇔ B , C . M   t h ẳ n g   h à n g

Phương trình đường thẳng BC là  x − 2 2 = y − 1 11 = z + 6 − 19

Điểm:

M ∈ B C ⇒ M 2 m + 2 ; 11 m + 1 ; − 19 m − 6

Mặt khác:

M = B C ∩ P ⇒ 2 m + 2 + 11 m + 1 − 19 m − 6 + 1 = 0 ⇔ m = − 1 3