Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a, b, c dương. Biết A, B, C di động trên các tia Ox, Oy, Oz sao cho a + b + c = 2. Biết rằng a, b, c thay đổi thì quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng (P) cố định. Tính khoảng cách từ M(2016;0;0) tới mặt phẳng (P).
A. 2017
B. 2014 3
C. 2016 3
D. 2015 3
Đáp án D.
Gọi D, K lần lượt là trung điểm của AB, OC. Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (OAB). Và cắt mặt phẳng trung trực của OC tại I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC suy ra z 1 = c 2 .
Ta có S ∆ O A D = 1 2 . S ∆ O A B = 1 4 . a b = 1 2 . D E . O A ⇒ D E = b 2 .
Tương tự D F = a 2 ⇒ x 1 = a 2 , y = b 2 ⇒ I a 2 ; b 2 ; c 2 .
Suy ra x 1 + y 1 + z 1 = a + b + c 2 = 1 ⇒ I ∈ P : x + y + z - 1 = 0 .
Vậy khoảng cách từ điểm M dến (P) bằng d = 2015 3 .