Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S : x − 2 2 + y − 1 2 + z 2 = 1 và mặt phẳng Q : 2 x − 2 y − z + 1 = 0 . Viết phương trình mặt cầu (S') đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng (Q)
A. x + 2 3 2 + y − 7 3 2 + z − 2 3 2 = 1
B. x − 2 3 2 + y − 7 3 2 + z + 2 3 2 = 1
C. x − 2 3 2 + y + 7 3 2 + z − 2 3 2 = 1
D. x − 2 3 2 + y − 7 3 2 + z − 2 3 2 = 1
Đáp án D
Mặt cầu S 1 có tâm M(2;1;0) và có bán kính R 1 = 1
Gọi M' là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (Q)
Ta có M M ' ⊥ Q nên đường thẳng MM' đi qua điểm M và nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) làm vectơ chỉ phương.
=> phương trình tham số đường thẳng MM': x = 2 + 2 t y = 1 − 2 t z = − t , t ∈ ℝ
Vì M' là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng Q ⇒ M ' = M M ' ∩ Q
=> tọa độ điểm M' là nghiệm hệ phương trình:
2 x − 2 y − z + 1 = 0 x = 2 + 2 t y = 1 − 2 t z = − t ⇔ 2 2 + t − 2 1 − 2 t − − t + 1 = 0 x = 2 + 2 t y = 1 − 2 t z = − t ⇔ t = − 1 3 x = 4 3 y = 5 3 z = 1 3
⇒ M ' 4 3 ; 5 3 ; 1 3
Gọi I(x;y;z) là tâm của mặt cầu (S'), do mặt cầu (S') đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng (Q) => I đối xứng với M qua mặt phẳng (Q)
=> I đối xứng với M qua mặt phẳng M'
=> M' là trung điểm của đường thẳng IM.
⇒ x = 2 x M ' − x M = 2 3 y = 2 y M ' − y M = 7 3 z = 2 z M ' − z M = 2 3 ⇒ I 2 3 ; 7 3 ; 2 3
Khi đó mặt cầu (S') có tâm I 2 3 ; 7 3 ; 2 3 , bán kính R' = R = 1 nên có phương trình:
x − 2 3 2 + y − 7 3 2 + z − 2 3 2 = 1
