Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d 1 : x = 2 t y = t z = 4 và d 2 : x = 3 − t ' y = t ' z = 0 . Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng d 1 và d 2 .
A. S : x + 2 2 + y + 1 2 + z + 2 2 = 4.
B. S : x − 2 2 + y − 1 2 + z − 2 2 = 16.
C. S : x − 2 2 + y − 1 2 + z − 2 2 = 4.
D. S : x + 2 2 + y + 1 2 + z + 2 2 = 16.
Đáp án C
Gọi tâm mặt cầu cần tìm là I và H,K lần lượt là hình chiếu của I lên các đường thẳng d 1 , d 2 .
Ta có: I H + I K ≥ H K ≥ a d 1 , d 2 . Dấu bằng khi HK là đường vuông góc chung của d 1 , d 2 và I là trung điểm của HK.
Khi đó: H 2 a , a , 4 và K 3 − b , b , 0 ⇒ K H ¯ 2 a + b − 3 ; a − b ; 4
Đường thẳng d 1 , d 2 có vecto chỉ phương lần lượt là u 1 ¯ = 2 ; 1 ; 0 và u 2 ¯ − 1 ; 1 ; 0 nên:
K H ¯ . u 1 ¯ = 0 K H ¯ . u 2 ¯ = 0 ⇔ 2 2 a + b − 3 + a − b + 0.4 = 0 − 2 a + b − 3 + a − b + 0.4 = 0 ⇔ 2 a + b − 3 = a − b = 0 ⇔ a = b = 1
Suy ra trung điểm của HK là I 2 ; 1 ; 2 và bán kính của mặt cầu (S) là R = H K 2 = 2.