Question

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S 1  có tâm I (2;1;1) bán kính bằng 4 và mặt cầu S 2  có tâm J (2;1;5) bán kính bằng 2. (P) là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu  S 1 ,  S 2 . Đặt M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ O đến mặt phẳng Giá trị M+m bằng

A. 8

B.  8 3

C. 9

D.  15

Answer 1

Đáp án C

Do IJ =4 > R 1 + R 2 nên hai mặt cầu cắt nhau

Giả sử IJ cắt (P) tại M ta có  M J M I = R 2 R 1 = 2 => J là trung điểm của MI

=> M(2;1;9) => (P): a(x-2)+b(y-1)+c(z-9)=0  a 2 + b 2 + c 2 > 0

d(I,(P))=4  ⇔ 8 c a 2 + b 2 + c 2 = 4 ⇔ 2 c a 2 + b 2 + c 2 = 1

Do đó  c ≠ 0 , chọn c=1 =>  a 2 + b 2 = 3

Đặt  a = 3 sin t ,   b = 3 cos t   ⇒ d ( O ; ( P ) ) = 2 a + b + 9 a 2 + b 2 + c 2 = 2 a + b + 9 2 = 2 3 sin t + 3 c o s t + 9 2

Mặt khác 

- 15 ≤ 2 3   sin t   + 3 cos t ≤ 15 ⇒   9 - 15 2 ≤ d 0 ≤ 9 + 15 2 ⇒ M + m = 9