Trong không gian Oxyz cho các mặt phẳng P : x − y + 2 z + 1 = 0 , Q : 2 x + y + z − 1 = 0 Gọi (S) là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời (S) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2 và (S) cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng r. Xác định r sao cho chỉ đúng một mặt cầu (S) thỏa yêu cầu.
A. r = 3 .
B. r = 2 .
C. r = 3 2 .
D. r = 3 2 2 .
Đáp án D.
Gọi I a ; 0 ; 0 là tâm của mặt cầu (S) có bán kính R.
Khoảng cách từ tâm I đến hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt là d 1 = a + 1 6 , d 2 = 2 a + 1 6
Theo giả thiết, ta có:
R 2 = d 1 2 + 2 2 = d 2 2 + r 2 ⇔ a + 1 2 6 + 4 = 2 a − 1 2 6 + r 2 ⇔ a 2 + 2 a + 25 = 4 a 2 − 4 a + 1 + 6 r 2 ⇔ 3 a 2 − 6 a + 6 r 2 − 24 = 0 *
Yêu cầu bài toán (*) có nghiệm duy nhất
⇔ Δ ' = − 3 2 − 3 6 r 2 − 24 = 0 ⇔ r = 3 2 2 .
