Trong đợt hội trại “Khi tôi 18” được tổ chức tại trường THPT XXX, Đoàn trường có thực hiện một dự án ảnh trưng bày trên một pano có dạng parabol như hình vẽ. Biết rằng Đoàn trường sẽ yêu cầu các lớp gửi hình dự thi và dán lên khu vực hình chữ nhật ABCD, phần còn lại sẽ được trang trí hoa văn cho phù hợp.
Chi phí dán hoa văn là 200.000 đồng cho một
m
2
bảng. Hỏi chi phí thấp nhất cho việc hoàn tất hoa văn trên pano sẽ là bao nhiêu (làm tròn đến hàng nghìn)?
A. 900.000 đồng
B. 1.232.000 đồng
C. 902.000 đồng
D. 1.230.000 đồng
Đáp án C
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol có phương trình
y
=
4
-
x
2
và trục hoành
Suy ra ∫ - 2 2 4 - x 2 d x = 32 3 m 2
Gọi điểm C a ; 0 , a > 0 ⇒ D - a ; 0 B ( a ; 4 - a 2 ) , A - a ; 4 - a 2
Gọi S 1 là diện tích ABCD, suy ra S 1 = A B . B C = 2 a . 4 - a 2 m 2
Gọi S 2 là diện tích có hoa văn, suy ra S 2 = S - S 1
S 2 nhỏ nhất khi và chỉ khi S 1 lớn nhất
Xét hàm số f a = 2 a 4 - a 2 , a ∈ 0 ; 4
Ta có f ' a = 8 - 6 a 2 ⇒ f ' a = 0 ⇔ a = 2 3
Xét bảng biến thiên hàm số f(a) với a ∈ 0 ; 4
Suy ra m a x 0 ; 4 f a = f 2 3 = 32 3 9 m 2 . Suy ra S 2 m i n = 32 3 - 32 3 9 ≈ 4 , 51 m 2
Suy ra số tiền cần bằng 902.000 đồng.
