Question

Trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB lấy hai điểm E và F sao cho cung AE < AF (E khác A, F khác B), Các đoạn thẳng AF và BE cắt nhau tại H. Vẽ HD⊥⊥OA ( D ∈∈OA, D khác O).

a)  Chứng minh : tứ giác DEFO nội tiếp đường tròn.

b) EH là tia phân giác góc DEF

Answer 1

a:

Xét (O) có

\(\widehat{AEB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

nên \(\widehat{AEB}=90^0\)

Xét (O) có

\(\widehat{AFB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

nên \(\widehat{AFB}=90^0\)

Xét tứ giác HDAE có \(\widehat{HEA}+\widehat{HDA}=90^0+90^0=180^0\)

nên HDAE là tứ giác nội tiếp

\(\widehat{EFO}=\widehat{EFA}+\widehat{OFA}=\widehat{EFA}+\widehat{OAF}=\dfrac{1}{2}\left(sđ\stackrel\frown{AE}+sđ\stackrel\frown{BF}\right)\)

\(\widehat{EHA}=\dfrac{1}{2}\left(sđ\stackrel\frown{AE}+sđ\stackrel\frown{BF}\right)\)(góc có đỉnh ở bên trong (O) chắn hai cung AE,BF)

Do đó: \(\widehat{EFO}=\widehat{EHA}\)

mà \(\widehat{EHA}=\widehat{EDA}\)(EHDA là tứ giác nội tiếp)

và \(\widehat{EDA}+\widehat{EDO}=180^0\)

nên \(\widehat{EFO}+\widehat{EDO}=180^0\)

=>DEFO là tứ giác nội tiếp

b: HDAE là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{HED}=\widehat{HAD}\)

mà \(\widehat{HAD}=\widehat{FEB}\)(=1/2*sđ cung FB)

nên \(\widehat{FEB}=\widehat{DEB}\)

=>\(\widehat{DEF}=2\cdot\widehat{DEB}\)

=>EH là phân giác của góc DEF