Giả sử \(\sqrt{2}\) là số hữu tỉ thì có đc viết dưới dạng:
\(\) \(\sqrt{2}\)=m/n vớ m,n thuộc N, (m,n)=1
Do 2 ko phải là có chính phương nên m/n ko là số tự nhiên, do đó n>1
Ta có m2 =15n2 . Gọi p là ước nguyên tos nào đó của n, thế thì m2 chia hết cho p, do đó m chia hết cho p. Nhứ vạy p là ước nguyên tố của m và n, trái với (m,n)=1
Vậy \(\sqrt{2}\) ko phải là số hữu tỉ
Giả sử rằng {\displaystyle {\sqrt {2}}} là một số hữu tỉ. Điều đó có nghĩa là tồn tại hai số nguyên a và b sao cho a / b = {\displaystyle {\sqrt {2}}}.
Như vậy {\displaystyle {\sqrt {2}}} có thể được viết dưới dạng một phân số tối giản (phân số không thể rút gọn được nữa): a / b với a, b là hai số nguyên tố cùng nhau và (a / b)2 = 2.
Từ (2) suy ra a2 / b2 = 2 và a2 = 2 b2.
Khi đó a2 là số chẵn vì nó bằng 2 b2 (hiển nhiên là số chẵn)
Từ đó suy ra a phải là số chẵn vì a2 là số chính phương chẵn (số chính phương lẻ có căn bậc hai là số lẻ, số chính phương chẵn có căn bậc hai là số chẵn).
Vì a là số chẵn, nên tồn tại một số k thỏa mãn: a = 2k.
Thay (6) vào (3) ta có: (2k)2 = 2b2 {\displaystyle \Leftrightarrow } 4k2 = 2b2 {\displaystyle \Leftrightarrow } 2k2 = b2.Vì 2k2 = b2 mà 2k2 là số chẵn nên b2 là số chẵn, điều này suy ra b cũng là số chẵn [lí luận tương tự như (5)].Từ (5) và (8) ta có: a và b đều là các số chẵn, điều này mâu thuẫn với giả thiết a / b là phân số tối giản ở (2).Từ mâu thuẫn trên suy ra: thừa nhận {\displaystyle {\sqrt {2}}} là một số hữu tỉ là sai và phải kết luận {\displaystyle {\sqrt {2}}} là số vô tỉ.
#Cách chứng minh trên có thể được tổng quát hóa để chứng rằng: "căn bậc hai của một số tự nhiên bất kì hoặc là một số nguyên hoặc là một số vô tỉ."
iả sứ căn 2 là số hữu tỉ=> căn 2 có thể viết dưới dạng m/n.(phân số m/n tối giản hay m,n nguyên tố cùng nhau)
=>(m/n)^2=2
=>m^2=2n^2
=>m^2 chia hết cho 2
=>m chia hết cho 2
Đặt m=2k (k thuộc Z)
=>(2k)^2=2n^2
=>2k^2=n^2
=> n^2 chia hết cho 2
=> n chia hết cho 2.
Vậy m,n cùng chia hết cho 2 nên chúng không nguyên tố cùng nhau
=> Điều đã giả sử là sai => căn 2 là số vô tỉ.
thế nào?
